Математика 1-6 класс

Дорогие пользователи!

Рады предложить вам бесплатно скачать справочные материалы по математике для 5 класса. Скачать здесь!

Сложение чисел.

a+b=c, где a и b–слагаемые, c–сумма.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Вычитание чисел.

a-b=c, где a–уменьшаемое, b–вычитаемое, c-разность.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение чисел.

a·b=c, где a и b-сомножители, c-произведение.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Деление чисел.

a:b=c, где a-делимое, b-делитель, c-частное.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Законы сложения.

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

Таблица сложения.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Законы умножения.

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

Таблица умножения.

2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.

2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.

2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.

2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.

2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.

2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.

2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.

2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.

2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.

2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.

Делители и кратные.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа – само это число.
Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b. (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа — само это число.

Признаки делимости натуральных чисел.

Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N.
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.
Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.
Признак делимости на число 2. Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
Признак делимости на число 5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
Признак делимости на число 10. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
Признак делимости на число 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Признак делимости на число 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Признак делимости на число 4. Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.

Простые и составные числа.

Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

НОД (Наибольший общий делитель).

Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.

НОК (Наименьшее общее кратное).

Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Обыкновенная дробь.

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.

У правильной дроби числитель меньше знаменателя.
У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Сокращение обыкновенной дроби.

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Смешанное число.

Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Координатный луч.

Луч Ох с началом отсчета в точке О, на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.

Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сравнение обыкновенных дробей.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Действия над обыкновенными дробями.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Умножение обыкновенных дробей.

Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Деление обыкновенных дробей.

Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Десятичные дроби.

Десятичной дробью называют число, записанное в десятичной системе и имеющее разряды меньше единицы. (3,25; 0,1457 и т. д.)
Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками.
Десятичная дробь не изменится, если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нули.

Сложение десятичных дробей.

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество десятичных знаков; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых дробях.

Вычитание десятичных дробей.

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, нужно: 1) уравнять количество десятичных знаков в уменьшаемом и вычитаемом; 2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и в полученном результате поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Умножение десятичных дробей.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в данной дроби.
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно выполнить умножение , не обращая внимания на запятые, и в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Деление десятичной дроби на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Деление на десятичную дробь.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)

Округление чисел.

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Среднее арифметическое нескольких чисел.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Размах ряда чисел.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных называется размахом ряда чисел.

Мода ряда чисел.

Число, встречающееся с наибольшей частотой среди данных чисел ряда, называется модой ряда чисел.

Процент.

Процентом называется одна сотая часть. Приобрести книгу, которая учит, «Как решать задачи на проценты».
Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.

Отношение.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. a:b или a/b – отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член.
Если члены данного отношения переставить местами, то получившееся отношение называют обратным для данного отношения. Отношения b/a и a/b – взаимно обратные.
Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Пропорция.

Равенство двух отношений называют пропорцией.
a:b=c:d. Это пропорция. Читают: а так относится к b, как c относится к d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член. Задачи на пропорцию.

Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Масштаб.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.

Обратно пропорциональные величины.

Пусть величина у зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.

Свойство обратной пропорциональности величин.

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Множество и его элементы.

Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
Множество В называют подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А.
Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В.
Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В.

Множества чисел.

N – множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4,…
Z – множество целых чисел: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q – множество рациональных чисел, представимых в виде дроби m/n, где m – целое, n – натуральное (-2; 3/5; √9; √25 и т.д.)

Координатная прямая.

Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5). Читают: точка А с координатой пять. В(-3). Читают: точка В с координатой минус три.

Модуль числа.

Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а. Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3 и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. |0|=0.
По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0.

Действия с рациональными числами.

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых (-3-5=-8).

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший (-4+6=2; -7+3=-4).

Умножение отрицательных чисел.

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел (-5·(-6)=30).

Умножение чисел с разными знаками.

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел (-3·7=-21; 4·(-7)=-28).

Деление отрицательных чисел.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя (-8:(-2)=4).

Деление чисел с разными знаками.

Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).

Запись рациональных чисел в виде периодической десятичной дроби.

Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается или конечной или бесконечной десятичной дробью.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5, записываются конечной десятичной дробью (3/2=1,5; 1/5=0,2).
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько неповторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью: 7/15=0,4 (6); 5/12=0,41 (6).
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5, обращается в смешанную периодическую дробь.
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Примеры: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).

Обращение бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода. Примеры:

1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Множество действительных чисел.

Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. Примеры: π; √2; е и т.д.
Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой R.

Медиана данного ряда чисел.

Для нахождения медианы данного ряда, нужно расположить данные числа в порядке возрастания или убывания. Число, оказавшееся в середине полученного ряда, и будет медианой данного ряда чисел. Если количество данных чисел четное, то медиана ряда равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих посередине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда.

Алгебраическое выражение.

Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Значения буквы, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы.
Если в алгебраическом выражении буквы заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время).

Раскрытие скобок.

Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых сохраняются.
Если перед скобками стоит знак «— », то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых меняются на противоположные знаки.

Приведение подобных слагаемых.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Уравнение.

Равенство с переменной называют уравнением.
Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Числовые неравенства.

Если при сравнении чисел a и b разность a-b – положительное число, то a>b.
Если при сравнении чисел a и b разность a-b – отрицательное число, то a<b.
Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют строгими неравенствами.
Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.

Свойства числовых неравенств.

Если правую часть неравенства поменять местами с его левой частью, то знак неравенства изменится на противоположный. (Если a>b, то b<a).
Если число a больше числа b, а число b больше числа c, то число a больше числа c. (Если a>b, b>c, то a>c).
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. (Если a>b, то a+c>b+c, где c – любое число).
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Если обе части неравенства умножают или делят на одно и то же положительное число, то знак неравенства не меняют. (Если a>b; c – положительное число, то ac>bc; a/c>b/c).
Если обе части неравенства умножают или делят на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняют на противоположный. (Если a>b; c – отрицательное число, то ac<bc; a/c<b/c).
Если положительное число a больше положительного числа b, то число 1/a меньше числа 1/b. (Если a>b; a>0; b>0, то 1/a<1/b).

Числовые промежутки.

Промежуток между точками, соответствующими заданным на координатной прямой числам a и b, изображает числовой промежуток между числами a и b. Виды числовых промежутков: интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч. Решения числовых неравенств можно изобразить на числовых промежутках.

а) Неравенство вида x<a. Ответ: (-∞; a).

б) Неравенство вида x≤a. Ответ: (-∞; а].

в) Неравенство вида x>a. Ответ: (a; +∞).

г) Неравенство вида x≥a. Ответ: [a; +∞).

Двойные неравенства.

а) Двойное неравенство вида a<x<b. Ответ: (a; b).

б) Двойное неравенство вида a≤x<b. Ответ: [a; b).

в) Двойное неравенство вида a<x≤b. Ответ: (a; b].

г) Двойное неравенство вида a≤x≤b. Ответ: [a; b].

Прямые на плоскости.

Через любые две точки можно провести единственную прямую. Прямая бесконечна.
Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными. Две перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла.
Через данную точку к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр.
Длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой, равна расстоянию от данной точки до этой прямой.
Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, параллельны.
Через каждую точку плоскости, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Координатная плоскость.

Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О — начале отсчета, образуют прямоугольную систему координат, называемую также декартовой системой координат.
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью. Координатные прямые называются координатными осями. Горизонтальная — ось абсцисс (Ох), вертикальная — ось ординат (Оy).
Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части — четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки.
Любая точка в координатной плоскости задается своими координатами — абсциссой и ординатой. Например, А(3; 4). Читают: точка А с координатами 3 и 4. Здесь 3 — абсцисса, 4 — ордината.

Осевая симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.
При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.
Прямоугольник имеет две оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Центральная симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если точка О – середина отрезка АА₁. Точку О называют центром симметрии.
Фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Примеры: окружность, отрезок, прямоугольник – центрально-симметричные фигуры.
На координатной плоскости координаты точек, симметричных относительно точки О – начала координат, являются противоположными числами.

Функция.

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. Записывают: y=f(x).Независимую переменную x называют аргументом. Зависимую переменную y называют функцией.
Множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), образует область определения функции и обозначают D(x).
Множество всех значений функции называют областью значений функции и обозначают Е(х).
Функцию можно задать графическим, словесным, табличным или аналитическим способом. Аналитический способ задания функции означает, что зависимость между переменными x и y задается посредством формулы (выражения).
Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Обратная функция.

Правило нахождения функции, обратной данной: 1) из данного равенства выражают x через y; 2) в полученном равенстве вместо x пишут y, а вместо y пишут x. Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов).

Линейная функция.

Функция, заданная формулой вида y=kx+b (где x – независимая переменная, k и b – любые числа), называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая. Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций одинаковы, то прямые параллельны.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – коэффициент прямой пропорциональности. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Обратная пропорциональность.

Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=k/x, где x – независимая переменная, отличная от нуля, k — коэффициент обратной пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола, состоящая из двух ветвей. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III, а при k<0 – во II и IV координатных четвертях.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y — переменные, числа a и b — коэффициенты, число с — свободный член.
Пара значений переменных, при которых линейное уравнение с двумя переменными обращается в верное числовое равенство, называется решением этого уравнения. Решение уравнения записывают в круглых скобках. Например, (2; -1) является решением уравнения 3x+2y=4, так как 3·2+2·(-1)=4.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением уравнения, называется графиком уравнения.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными ax+by=c, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы линейных уравнений с двумя переменными, называется решением системы уравнений.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Для решений системы линейных уравнений с двумя переменными используют графический способ, способ подстановки и способ сложения.

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Способ подстановки для решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

В одном из уравнений выражают одну переменную через другую, например, выразили y через х.
Подставляют полученное выражение вместо y во второе уравнение — получается уравнение с одной переменной х.
Из полученного уравнения находят значение этой переменной х.
Подставляют значение х в выражение, полученное в 1) пункте и находят значение переменной y.
Пара (x; y) является решением данной системы уравнений.

Способ сложения для решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях оказались противоположными числами.
Складывают почленно полученные уравнения — остается уравнение с одной переменной, из которого находят значение этой переменной.
Подставляют найденное значение переменной в любое из данных уравнений и находят значение второй переменной.
Полученная пара значений переменных и служит решением данной системы уравнений.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной.

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств с одной переменной.
Алгоритм решения систем неравенств с одной переменной.

Найти множество решений каждого неравенства системы.
Изобразить на одной координатной прямой множество решений каждого из неравенств.
Пересечение промежутков — множеств решений данных неравенств и является решением данной системы.
Решение системы неравенств можно записать в виде неравенства или в виде числового промежутка

Абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютная погрешность (обозначают Δх) — модуль разности между данным и приближенным значениями данного числа. Δх= |x-x₀|, где x — данное число, x₀ – его приближенное значение.
Относительная погрешность (обозначают α) — модуль отношения абсолютной погрешности к приближенному значению числа. α=|Δx/x₀|, где Δх — абсолютная погрешность числа х, x₀ – его приближенное значение.