Площадь трапеции

Площадь трапеции Геометрия
Формулы для вычисления площади всех видов трапеции, онлайн калькуляторы для расчета. Вывод основной формулы и примеры применения формул в задачах. Удобный справочный материал с подробными объяснениями.

Чему равна площадь трапеции? Трапеция это важная и часто исследуемая геометрическая фигура в курсе геометрии, начиная с 7 класса. В процессе обучения школьники учатся решать задачи по геометрии на нахождение боковых сторон и оснований трапеции, углов  и средней линии. Важно уметь находить периметр и площадь трапеции. Рассмотрим чему равна площадь трапеции и решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь произвольной трапеции

Площадь трапеции S_{ABCD} равна произведению полусуммы её оснований на высоту трапеции.

S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot (BC+AD) \cdot BH

Трапеция Abcd
Трапеция ABCD

Единицей измерения площади является квадратная единица длины: м2, см2, кв.ед., км2.
Докажем, что данная формула верна для любой трапеции.

Доказательство 1

Пусть нам дана трапеция ABCD, проведем из вершины B высоту трапеции BH на сторону AD.

Продлим сторону AD на длину основания BC получим точку B_1. Продлим сторону BC трапеции ABCD на длину стороны AD. Получим точку A_1.

Соединим точки A_1 и B_1. Трапеция ABCD равна трапеции DCA_1 B_1 по построению.

Трапеция Abcd к доказательству нахождения площади

 

Полученный в результате построения четырехугольник ABA_1B_1  — параллелограмм, площадь которого равна двум площадям трапеции ABCD:

S_{ABA_1B_1}=AB_1 \cdot BH

Отсюда площадь трапеции

S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BHAB_1 \cdot BH=\frac{1}{2} \cdot (AD+DB_1) \cdot BH

так как DB_1=BC, то получим:

S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot (AD+BC) \cdot BH.

Таким образом, S=\frac{1}{2 }(a+b)h.

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2

Достроим трапецию ABCD до прямоугольника, получим прямоугольник AA_1D_1D.

Площадь трапеции ABCD можно получить, если вычесть из площади прямоугольника площади достроенных треугольников.

К доказательству 2
Построение прямоугольника из трапеции для доказательства

Находим S_{ABCD}=hb-(S_1+S_2)=hb-\frac{1}{2}(hm+hn)=hb-\frac{1}{2}h(m+n)=hb-\frac{1}{2}h(b-a)=hb-\frac{1}{2}hb+\frac{1}{2}ha=\frac{1}{2}h(b+a).

Можно еще привести множество доказательств правильности формулы для площади трапеции, но двух уже достаточно.

Давайте теперь решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь равнобедренной трапеции? Точно также как и площадь любой другой трапеции. Формула одна и та же.

Примеры решения задач

Решим задачи, в которых нужно узнать площадь трапеции.

Задача 1

Вычислить площадь четырехугольника S_{ABCD}, если известно, что BC=5, AD=7 и боковая сторона AB=5 перпендикулярна к AD, а AB||CD.

Решение.

По последнему условию боковая сторона AB является высотой трапеции.

К задаче 1
Рисунок к задаче 1

Тогда  S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5+7)=30.

Ответ: 30.

Задача 2

Дана трапеция ABCD. Известно, что AB=3 см, AD=2BC, BC=4см, а ∠A=30°. Найти S_{ABCD}.

Рисунок к задаче 2 площадь трапеции
Рисунок к задаче 2 площадь трапеции

Решение:

Для определения площади нам потребуется знать высоту BH. Определим ее из прямоугольного треугольника ABC. Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, а, следовательно, h=BH=AB/2=1,5см.

Определим AD. Так как AD=2BC, то получим: AD=8см.

Тогда S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot h (AD+BC)=\frac{1}{2} \cdot 1,5 (8+4)=9 см.

Ответ: 9 см.

Формулы площади трапеции для всех трапеций

Ниже приведем все формулы для определения площади трапеции, которые можно использовать. Однако, многие из них выводятся из основной, приведенной выше и редко используются как самостоятельные. Запоминать их нет необходимости, так как их всегда можно вывести. Однако, если вам дана задача с исходными данными и нужно проверить правильность ее решения, именно с исходными данными (например, даны только длины всех сторон трапеции, а нужно найти ее площадь), то используйте наши онлайн-калькуляторы.

По высоте и основаниям

Проверьте вычисления, используя наш онлайн калькулятор. Десятичные дроби вводите через точку. Ориентируйтесь на обозначения на рисунке.


Трапеция Abcd




Площадь трапеции S_{ABCD}=\frac{1}{2}h(AD+BC)=

По высоте и средней линии

Если дана высота и средняя линяя трапеции, то ее площадь можно найти по формуле:

S=mh

где m — средняя линия трапеции,

h — высота.


Площадь трапеции по высоте и средней линии



Площадь трапеции S_{ABCD}=hm=

По известным четырем сторонам

Если известны стороны трапеции a, b, c, d, то формула площади:
S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}
Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:


Трапеция с обозначением всех сторон





Площадь трапеции S_{ABCD}=\displaystyle \frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}=

По известным основаниям и углам при основании

Если известны стороны трапеции a, b и углы при основании, то формула площади:
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}
Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:


Трапеция с известными основаниями и углами при основании B





Площадь трапеции S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=

По двум диагоналям и углу между ними

Если известны диагонали трапеции d_1, d_2 и угол \alpha между ними, то формула площади трапеции:
S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin{\alpha}
Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:

К определению площади трапеции по двум диагоналям и углу между ними





Площадь трапеции S=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin{\alpha}=

Площадь прямоугольной трапеции

Если известны основания прямоугольной трапеции a, b и угол \alpha у большего основания, то формула площади трапеции:
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2} tg \alpha
Вывод формулы: действительно, для произвольной неравнобедренной и не прямоугольной трапеции площадь по известным основаниям и углам при основании определяется по формуле:
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}.
Если угол при основании равен 90 градусов (для прямоугольной трапеции) (пусть это угол \beta) то \sin{\beta}=1 получим
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}}.
По формулам приведения \sin{(\alpha}+\frac{\pi}{2})}=cos{\alpha}
Тогда формула примет вид:
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}, так как \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos{\alpha}}=tg \alpha, то окончательно получается:
S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot tg \alpha
Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:


Прямоугольная трапеция




Площадь трапеции S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2} tg \alpha=

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по любой из вышеприведенных формул, кроме формулы для прямоугольной трапеции, если ввести одинаковые значения для боковых сторон.
Например, формула нахождения площади по известным сторонам, упростится и будет иметь вид:

\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b) \cdot \sqrt{c^2-\left( \frac{a-b}{2}\right)^2}


Равнобедренная трапеция




Площадь трапеции \displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b) \cdot \sqrt{c^2-\left( \frac{a-b}{2}\right)^2}=

Таблица формул для определения площади трапеции

Сведем для удобства все формулы в таблицу. Если вам дана прямоугольная или равнобедренная трапеция, вы всегда можете определить ее площадь по любой из формул для неравнобедренной (произвольной) трапеции, просто введите одинаковые значения для боковой стороны.

Известные величины для расчета Рисунок Формула
Высота и основания Трапеция Abcd S_{ABCD}=\frac{1}{2}h(AD+BC)
Высота и средняя линия Площадь трапеции по высоте и средней линии S=mh
Все стороны Трапеция с обозначением всех сторон S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}
Основания и углы при основании Трапеция с известными основаниями и углами при основании B S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\alpha} \cdot \sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}
Две диагонали и угол между ними К определению площади трапеции по двум диагоналям и углу между ними S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin{\alpha}
Угол при основании 90° (случай прямоугольной трапеции), известен другой угол при основании и основания Прямоугольная трапеция S=\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2} tg \alpha
Боковые стороны равны (случай равнобедренной трапеции), известны стороны Равнобедренная трапеция \displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b) \cdot \sqrt{c^2-\left( \frac{a-b}{2}\right)^2}
Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
3 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Марина

Класс. Спасибо.

Татьяна

Какая работа проведена автором! Спасибо большое, я обнаружила, что кое-что не знала раньше.

Марк

Вот это да. Сколько калькуляторов! Я в шоке просто! Спасибо. Это круто!