- Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
- Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
- Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.
Пример 1
Найти НОД(15; 35).
Решение.
Разложим данные числа на простые множители.
15=3∙5, 35=5∙7
Общий делитель чисел 15 и 35 – это число 5.
Ответ: НОД(15; 35)=5.
Пример 2
Найти НОД(72; 64).
Решение.
Разложим числа 72 и 64 на простые множители.
72=2∙2∙2∙3∙3 или 72=23∙32, 64=2∙2∙2∙2∙2∙2 или 64=26
Нужно взять произведение общих множителей: 2∙2∙2=23=8.
Ответ: НОД(72; 64)=23=8.
Примечание: из разложений данных чисел нужно брать общие множители с наименьшими показателями. У нас в первом разложении было 23, а во втором 26, поэтому, взяли 23.
Пример 3
Найдите наибольший общий делитель разности чисел 69 и 19 и суммы чисел 36 и 39.
Решение.
Требуется найти НОД(50; 75). Разложим эти числа на простые множители.
50=2∙52 ; 75=3∙52
Общий делитель 5 берем во второй степени.
НОД(50; 75)=52=5∙5=25.
Ответ: НОД(50; 75)=25.