Формулы сокращенного умножения - квадрат разности и суммы, куб разности и куб суммы, разность квадратов и кубов, сумма кубов

Запишем все формулы сокращенного умножения:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — квадрат суммы
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — квадрат разности
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — куб суммы
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ — куб разности
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ — разность квадратов
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ — сумма кубов
$(a-b)(a^2-ab+b^2)=a^3-b^3$ — разность кубов.

ФСУ формулы сокращенного умножения (памятка)

Содержание

Квадрат суммы и разности двух чисел

Рассмотрим формулы 1 и 2. Их можно объединить следующим образом:

$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2$

Читается так:

Квадрат суммы (разности) двух чисел

Квадрат суммы (соответственно разности) двух чисел равен квадрату первого числа, плюс (минус) удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2$

Примеры на квадрат суммы и разности двух чисел

Выполнить действия

$(x+2y)^2$ $(x+2y)^2=x^2+2x (2y)+y^2=x^2+4xy+4y^2$
$(m+n^2)^2$ $(m+n^2)^2=m^2+2mn^2+n^4$
$(m+n^2)^2$ $(a^2+b^4)^2=a^4+2a^2b^4+b^8$

Представить в виде квадрата двучлена следующие трехчлены.

$x^2+2x+1$ $x^2+2x+1=(x+1)^2$
$4a^2+4ab+b^2$ $4a^2+4ab+b^2=(2a)^2+2\cdot (2a)\cdot b+b^2=(2a+b)^2$
$m^6+2m^3n^4+n^8$ $(m^3)^2+2 (m^3)(n^4)+(n^4)^2=(m^3+n^4)^2$

Дополнить до полного квадрата двучлена следующие выражения:

$4a^2+12ab+...$
Чтобы найти третье слагаемое — ориентируемся на второе слагаемое в котором выделяем корень квадратный из первого. То есть, второе слагаемое $12ab$ из него выделяем корень квадратный из первого слагаемого $\sqrt{4a^2}=2a$ , остается $12ab :2a=6b$ . Но так как в формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и во втором слагаемом мы видим удвоенное произведение первого слагаемого на второе, нужно еще разделить на 2. Первое слагаемое мы определили, это $2a$ , теперь от $6b$ убираем множитель 2 и остается третье слагаемое $3b$ . И мы получаем: $4a^2+12ab+...=(2a)^2+2\cdot (2a)\cdot (3b)+(3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$ $m^2-2mn+...$
$m^2-2 \cdot m \cdot n+...=m^2-2\cdot m\cdot n+n^2$
$25x^2+ ? + 49b^2$
$25x^2+ ? + 49b^2=(5x)^2+?+(7b^2)=(5x)^2+2 (5x)(7b)+(7b)^2=25x^2+70xb+49b^2$

Выделить квадрат суммы или разности:

$x^2+8x$ Нам дан неполный квадрат суммы. Дополняя мы обычно либо выделяем какое то число или выражение, если нам не хватает до полного квадрата суммы или разности, или добавляем его, но тогда то же выражение надо и отнять.

$x^2+8x=x^2+2\cdot 4 \cdot x+(4)^2- (4)^2=(x+4)^2-16$
$x^2-2x+3$ $x^2-2x+3=x^2-2x+1+2=(x-1)^2+2$
$x^2+6x-3$ $x^2+6x-3=(x)^2+2 \cdot x \cdot 3+9-9-3=(x)^2+6x+9-12=(x+3)^2-12$

Вычислите, используя формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ :

$103^2$
$103^2=(100+3)^2=100^2+2\cdot 100 \cdot 3+3^2=10000+600+9=10609$
$49^2$
$49^2=(50-1)^2=50^2-2\cdot 50\cdot 1+1^2=2500-100+1=2401$
$10,5^2$
$10,5^2=(10+0,5)^2=10^2+2\cdot 10 \cdot 0,5+0,5^2=100+10+0,25=110,25$
$99^2$
$99^2=(100-1)^2=100^2-2\cdot 100 \cdot 1+1=10000-200+1=9801$
$8,9^2$
$8,9^2=(9-0,1)^2=9^2-2\cdot 9 \cdot 0,1+0,1^2=81-1,8+0,01=79,2+0,01=79,21$

Куб суммы и разности двух чисел

Теперь рассмотрим формулы 3 и 4, запишем их:

$(a \pm b)^3=a^3 \pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3$

Куб суммы (соответственно разности) двух чисел равен кубу первого числа, плюс (минус) утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс (минус) куб второго числа.

$(a \pm b)^3=a^3 \pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3$

Примеры на куб суммы и разности двух чисел

Выполнить действия:

$(2a+3b)^3$
$(2a+3b)^3=(2a)^3+3 (2a)^2 (3b)+3\cdot (2a)(3b)^2+(3b)^3=8a^3+3\cdot (4a^2)\cdot (3b)+6a\cdot 9b^2+27b^3=8a^3+36a^2b+54ab^2+27b^3$
$(4m-2k)^3$
$(4m-2k)^3=(4m)^3-3 (4m)^2 2k+3\cdot 4m \cdot (2k)^2- (2k)^3=64m^3-84m^2k+48mk^2-8k^3$
$(2+a)^3$
$(2+a)^3=2^3+3\cdot 2^2 a+3a^2\cdot 2+a^3=8+12a+6a^2+a^3$

Доказать, что:

$a^3+3ab (a+b)+b^3=(a+b)^3$

Доказательство: $a^3+3ab (a+b)+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$ что и требовалось доказать.

Доказать тождество:

$a^3-3ab (a-b) -b^3=(a-b)^3$

Доказательство: $a^3-3ab (a-b) -b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$ согласно формуле 4. Тождество доказано.

Разность квадратов двух чисел

Рассмотрим формулу 5:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Примеры на разность квадратов двух чисел

Выполнить действия:

$(a-2)(a+2)$ $(a-2)(a+2)=a^2-2^2=a^2-4$
$(a-2)(a+2)$ $(6x-5y)(6x+5y)=(6x)^2- (5y)^2=36x^2-25y^2$
$(0,3-a)(a+0,3)$ $(0,3-a)(a+0,3)=(0,3)^2-a^2=0,09-a^2$

Используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ вычислить:

$61 \cdot 59$
$61 \cdot 59=(60+1)(60-1)=3600-1=3599$
$4,01 \cdot 3,99$
$4,01 \cdot 3,99=(4+0,01)(4-0,01)=(4)^2- (0,01)^2=16-0,0001=15,9999$
$37^2-23^2$
$37^2-23^2=(37–23)(37+23)=14\cdot 60=840$

Сумма и разность кубов двух чисел

Теперь рассмотрим формулы 6 и 7:

$(a \pm b)(a^2 \mp ab+b^2)=a^3 \pm b^3$

Произведение суммы (соответственно разности) двух чисел на неполный квадрат разности (суммы) этих чисел равно сумме (разности) кубов этих чисел.

$(a \pm b)(a^2 \mp ab+b^2)=a^3 \pm b^3$

Примеры на сумму и разность кубов

Вычислить, применяя формулы суммы и разности кубов:

$(x + y)(x^2-xy+y^2)$
$(x + y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$
$(x-1)(x^2+x+1)$
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$
$(k+2)(k^2-2k+4)$
$(k+2)(k^2-2k+4)=k^3+8$

Упростите выражения:

$2x^3+9- (x+1)(x^2-x+1)$
$2x^3+9- (x+1)(x^2-x+1)=2x^3- (x^3+1)=2x^3-x^3-1=x^3-1$
$a (a+2)(a-2) — (a-3)(a^2+3a+9)$
$a (a+2)(a-2) — (a-3)(a^2+3a+9)=a (a^2-4) — (a^3-27)=a^3-4a-a^3+27=27-4a$
$3 (n-2)^2+2 (n-1)(n^2+n+1)$
$3 (n-2)^2+2 (n-1)(n^2+n+1)=3 (n^2-4n+4)+2 (n^3-1)=3n^2-12n+12+2n^3-2=2n^3+3n^2-12n+10$

Решение примеров на все формулы сокращенного умножения

Упростить выражение

$\displaystyle \frac{4a^2+4ab+4b^2}{5a+5b} \cdot \frac{3a^2-3b^2}{6a^3-6b^3}$

Решение:

Вынесем в каждом дроби и в числителе, и в знаменателе за скобки общий множитель:

$\displaystyle \frac{4a^2+4ab+4b^2}{5a+5b} \cdot \frac{3a^2-3b^2}{6a^3-6b^3}=\frac{4 (a^2+ab+b^2)}{5 (a+b)} \cdot \frac{3 (a^2-b^2)}{6 (a^3-b^3)}$

Используя формулы разности квадратов и разности кубов двух выражений, получим:

$\displaystyle \frac{4 (a^2+ab+b^2)\cdot 3 (a^2-b^2)}{5 (a+b)\cdot 6 (a^3-b^3)}=\frac{4 (a^2+ab+b^2)\cdot 3 (a-b)(a+b)}{5 (a+b)\cdot 6 (a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Сокращаем дробь

$\displaystyle \frac{4\red{\bcancel{(a^2+ab+b^2)}}\cdot 3 \green{\bcancel{(a-b)}}\bcancel{(a+b)}}{5\bcancel{(a+b)}\cdot 6\green{\bcancel{(a-b)}}\red{\bcancel{(a^2+ab+b^2)}}}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

Ответ: $\displaystyle \frac{2}{5}$

Выполнить действия

$\displaystyle 2m-\left (\frac{2m-3}{m+1}-\frac{m+1}{2-2m}-\frac{m^2+3}{2m^2-2}\right)\frac{m^3+1}{m^2-m}$

Решение:

Выполним сначала действия в скобках

$\displaystyle \frac{2m-3}{m+1}-\frac{m+1}{2-2m}-\frac{m^2+3}{2m^2-2}=\frac{2m-3}{m+1}-\frac{m+1}{2-2m}-\frac{m^2+3}{2m^2-2}=\frac{2m-4}{m+1}-\frac{m+1}{2 (1-m)}-\frac{m^2+3}{2 (m^2-1)}=\displaystyle \frac{2m-3}{m+1}+\frac{m+1}{2 (m-1)}-\frac{m^2+3}{2 (m^2-1)}=\frac{2 (2m-3)(m-1)+(m+1)(m+1) — (m^2+3)}{2 (m^2-1)}=\displaystyle \frac{4m^2-6m-4m+6+m^2+2m+2m+1-m^2-3}{2 (m^2-1)}=\frac{4m^2-8m+4}{2 (m^2-1)}=\frac{4 (m-1)^2}{2 (m-1)(m+1)}=\frac{2 (m-1)}{m+1}$

Выполним умножение:

$\displaystyle \frac{2 (m-1)}{m+1} \cdot \frac{m^3+1}{m^2-m}=\frac{2 (m-1)(m+1)(m^2-m+1)}{(m+1) m (m-1)}=\frac{2 (m^2-m+1)}{m}$

И, далее:

$\displaystyle 2m-\frac{2 (m^2-m+1)}{m}=\frac{2 (m^2- (m^2-m+1))}{m}=\frac{2 (m^2-m^2+m-1)}{m}=\frac{2 (m-1)}{m}$

Ответ: $\displaystyle \frac{2 (m-1)}{m}$

Еще по теме:

Разность квадратов,

Примеры для закрепления формул сокращенного умножения (ФСУ)