Разность квадратов - формула сокращенного умножения и примеры

Формулы сокращённого умножения в математике включают и разность квадратов двух чисел. Эти формулы изучают в 7 классе по алгебре. Рассмотрим эту формулу подробнее.

Содержание

Определение разности квадратов двух чисел

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Действительно, давайте выполним умножение $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$ , что и требовалось доказать. Вполне можно умножать эти две скобки $(a-b)(a+b)$ именно так, как мы только что умножили — сначала первое число в первой скобке умножаем на сумму во второй скобке, потом второе число в первой скобке умножаем на выражение во второй скобке, затем преобразуем, и только потом получим что произведение $(a-b)(a+b)$ равно $a^2-b^2$ .

Формула $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ относится к формулам сокращенного умножения, то есть к таким формулам, которые позволяют производить умножение быстро, сокращенно, не тратя время на вывод и преобразования. Эту формулу надо запомнить — это ваша палочка-выручалочка на ЕГЭ — сэкономит время.

Нам не всегда будут даны $a$ и $b$ , под этими переменными могут пониматься различные выражения.

Рассмотрим, например, такое задание:

Решите уравнение $x-4+(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$

Упростим выражение слева от равенства, получим:

$x-4+x^2-2=0$ . Мы использовали формулу разности квадратов $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^2-(\sqrt{2})^2=x^2-2$ . Приведем подобные слагаемые в упрощенной левой части уравнения, получим:

$x^2+x-6=0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета (уравнение приведенное $a=1$ , $D=1+4\cdot 6=25>0$ ). Корни уравнения по теореме Виета можно найти по формулам: $x_1+x_2=-1$ , $x_1\cdot x_2=-6$ .

Подходят два числа $-3$ и $2$ .

Проверим: $(-3)^2-3-6=9-3-6=0$ — $-3$ -корень уравнения.

Проверим второй корень $2$ : $2^2+2-6=4+2-6=6-6=0$ .

Получили два корня: $x_1=-3$ и $x_2=2$ .

Вот так «разность квадратов» помогла нам быстро решить квадратное уравнение.

Стандартная ошибка при применении формулы разности квадратов.

Пока навык использования формулы не выработан, часто делают такую ошибку: если запись идет в виде $(a+b)(b-a)$ путают что из чего надо вычитать. То ли $a^2-b^2$ , то ли $b^2-a^2$ . Чтобы не гадать — обращаем внимание на разность чисел, а у нас $b-a$ , а так как слагаемые могут меняться местами, то выражение $(a+b)(b-a)$ можно изменить и записать $(b+a)(b-a)$ и тогда решением будет $b^2-a^2$ . Внимание — на разность.

Например, нужно упростить $(3+b^2)(b^2-3)$ . Обращаем внимание на разность, получим $b^4-9$ .

Формула может использоваться в различных алгебраических выражениях, когда надо упростить выражение, разложить на множители. Давайте теперь рассмотрим примеры, где применяется формула «разность квадратов».

Внимание. Многие путают разность квадратов и квадрат разности. Чтобы не путать эти два понятия — обратите внимание на первое слово. В выражении «разность квадратов» первое слово «разность», то есть $a^2-b^2$ . А во втором выражении «квадрат разности» первое слово «квадрат», то есть $(a-b)^2$ . Что вы видите первым, при взгляде на выражение $a^2-b^2$ ? Вы видите разность — знак минус — разность квадратов. А что вы видите первым, если посмотрите на выражение $(a-b)^2$ ? Вы видите степень. То есть квадрат — вторая степень — квадрат разности. Теперь вы не запутаетесь.