Разность квадратов

Разность квадратов 7 класс. Алгебра.
Как быстро умножать алгебраические выражения? Для этого есть формулы сокращенного умножения, среди них есть квадрат разности и квадрат суммы, а есть разность квадратов. Эта важная формула помогает в математике упрощать выражения, доказывать тождества и даже решать уравнения и неравенства - мы рассмотрим на примерах.

Формулы сокращённого умножения в математике включают и разность квадратов двух чисел. Эти формулы изучают в 7 классе по алгебре. Рассмотрим эту формулу подробнее.

Определение разности квадратов двух чисел

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Действительно, давайте выполним умножение (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2, что и требовалось доказать. Вполне можно умножать эти две скобки (a-b)(a+b) именно так, как мы только что умножили — сначала первое число в первой скобке умножаем на сумму во второй скобке, потом второе число в первой скобке умножаем на выражение во второй скобке, затем преобразуем, и только потом получим что произведение (a-b)(a+b) равно a^2-b^2.

Формула a^2-b^2=(a+b)(a-b) относится к формулам сокращенного умножения, то есть к таким формулам, которые позволяют производить умножение быстро, сокращенно, не тратя время на вывод и преобразования. Эту формулу надо запомнить — это ваша палочка-выручалочка на ЕГЭ — сэкономит время.

Нам не всегда будут даны a и b, под этими переменными могут пониматься различные выражения. 

Рассмотрим, например, такое задание:

Решите уравнение x-4+(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0

Упростим выражение слева от равенства, получим:

x-4+x^2-2=0. Мы использовали формулу разности квадратов (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^2-(\sqrt{2})^2=x^2-2. Приведем подобные слагаемые в упрощенной левой части уравнения, получим:

x^2+x-6=0

Решим уравнение с помощью теоремы Виета (уравнение приведенное a=1, D=1+4\cdot 6=25>0). Корни уравнения по теореме Виета можно найти по формулам: x_1+x_2=-1, x_1\cdot x_2=-6.

Подходят два числа -3 и 2.

Проверим: (-3)^2-3-6=9-3-6=0 — -3-корень уравнения.

Проверим второй корень 2: 2^2+2-6=4+2-6=6-6=0.

Получили два корня: x_1=-3 и x_2=2.

Вот так «разность квадратов» помогла нам быстро решить квадратное уравнение.

Стандартная ошибка при применении формулы разности квадратов.

Пока навык использования формулы не выработан, часто делают такую ошибку: если запись идет в виде (a+b)(b-a) путают что из чего надо вычитать. То ли a^2-b^2, то ли b^2-a^2. Чтобы не гадать — обращаем внимание на разность чисел, а у нас b-a, а так как слагаемые могут меняться местами, то выражение (a+b)(b-a) можно изменить и записать (b+a)(b-a) и тогда решением будет b^2-a^2. Внимание — на разность.

Например, нужно упростить (3+b^2)(b^2-3). Обращаем внимание на разность, получим b^4-9.

Формула может использоваться в различных алгебраических выражениях, когда надо упростить выражение, разложить на множители. Давайте теперь рассмотрим примеры, где применяется формула «разность квадратов».

Внимание. Многие путают разность квадратов и квадрат разности. Чтобы не путать эти два понятия — обратите внимание на первое слово. В выражении «разность квадратов» первое слово «разность», то есть a^2-b^2. А во втором выражении «квадрат разности» первое слово «квадрат», то есть (a-b)^2. Что вы видите первым, при взгляде на выражение a^2-b^2? Вы видите разность — знак минус — разность квадратов. А что вы видите первым, если посмотрите на выражение (a-b)^2? Вы видите степень. То есть квадрат — вторая степень — квадрат разности. Теперь вы не запутаетесь.

Примеры выполнения заданий

Потренируемся в применении формулы разности квадратов, вот примеры выполнения типичных заданий, где применяется эта формула.

Пример 1

Разложить выражение на множители:

49-x^2.

Решение: Данное выражение можно разложить на множители, используя формулу «разность квадратов»:

49-x^2=(7-x)(7+x).

Пример 2

Решите неравенство (x+4)^2-x^2<4x

Решение:

В левой части неравенства можно применить формулу разности квадратов (мысленно замените выражение x+4 переменной a, а x переменной b):

(x+4-x)(x+4+x)<4x

4(2x+4)<4x

8x+16<4x

8x-4x<-16

4x<-16

x<-4

Ответ: x<-4

Пример 3

Упростите: (2x^2y^3-5x^4y)(2x^2y^3+5x^4y)

Решение: (2x^2y^3-5x^4y)(2x^2y^3+5x^4y)=(2x^2y^3)^2-(5x^4y)^2=4x^4y^6-25x^8y^2.

Ответ: 4x^4y^6-25x^8y^2

Пример 4

Разложите на множители x^4-1.

Решение: x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).

Ответ: (x-1)(x+1)(x^2+1)

Пример 5

Решите уравнение: x^6-1=0.

Решение:

(x^3-1)(x^3+1)=0

x^3-1=0 или x^3+1=0

x^3=1  или  x^3=-1

x=1 и x=-1

Так как исходное уравнение шестой степени, то в ответе будет шесть корней.

Ответ: x_1=x_2=x_3=1 и x_4=x_5=x_6=-1.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии