Найдите значение выражения \sqrt{17 \cdot 5^4} \cdot \sqrt{17 \cdot 2^2}
Решение:
Согласно свойству степени, а корень квадратный — это степень \displaystyle \frac{1}{2}, произведение двух степеней с одинаковым показателем мы можем записать под одной степенью с этим же показателем. Переходя к корню это будет выглядеть так:
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b }=\sqrt{ab}
Таким образом, получаем:
\sqrt{17 \cdot 5^4} \cdot \sqrt{17 \cdot 2^2} =\sqrt{17 \cdot 5^4 \cdot 17 \cdot 2^2}=\sqrt{17^2 \cdot 5^4 \cdot 2^2}
Извлечь квадратный корень, это значит, возвести в степень \displaystyle \frac{1}{2}, то есть \displaystyle \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}
Тогда получим:
\sqrt{17^2 \cdot 5^4 \cdot 2^2}=(17^2 \cdot 5^4 \cdot 2^2)^{½}
При возведении в степень показатели степени перемножаются:
\sqrt{17^2 \cdot 5^4 \cdot 2^2}=(17^2 \cdot 5^4 \cdot 2^2)^{½}=17^ {2 \cdot ½} \cdot 5^{4 \cdot ½} \cdot 2^{2 \cdot ½}=17 \cdot 5^2 \cdot 2=34\cdot 25=850
Ответ: 850
