Числовое неравенство, свойства числовых неравенств и примеры решения

Рассмотрим что такое числовое неравенство, числовые неравенства имеют следующие свойства.

Свойства числовых неравенств

1. Если при сравнении чисел a и b разность a-b – положительное число, то a > b.
2. Если при сравнении чисел a и b разность a-b – отрицательное число, то a < b.

Строгие и нестрогие числовые неравенства:

1. Если неравенства записываются знаками < или > , то их называют строгими неравенствами.
2. Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.

Как решать числовое неравенство

Примеры.

1. Сравните числа а и b по их разности.

а) a-b=-7. Решение. Так как разность a-b – отрицательное число, то a < b.

б) a-b=4,5. Решение. Так как разность a-b – положительное число, то a > b.

в) a-b=0. Решение. Так как разность a-b  равна нулю, то a=b.

2. Сравните данные числа.

а) 0,099 и 0,1. Решение. Десятичные дроби сравниваются поразрядно: из двух чисел больше то, которое содержит больше единиц высшего разряда.

0,099 < 0,1, так как 0 < 1 (сравнили десятые доли чисел).

б) -5,43 и -5,6. Решение. -5,43 > -5,6, так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

так как из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше.

так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше, а меньше та, знаменатель которой больше.

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем:

Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями. Получаем:

3. Записать в виде двойного неравенства:  6 < 12  и  12 < 15.

Решение.  6 < 12 < 15. Читают: двенадцать больше шести и меньше пятнадцати.

4. Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:

— 4 ≤ х < 3. Решение: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2.

5. Задания для самостоятельного решения.

5.1 Сравните с нулем разность чисел а и b, если

а) a < b;  б) a > b; в) a=b.

5.2. Сравните данные числа.

а) -2,467 и -2,476; б) 8,98 и 8,899;

5.3. Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:

а) -5 ≤ х < 1; б) -3 < x ≤ 3; в) 4 < x < 9;  г) -8 ≤ x ≤ -4.

Ответы на решение числовых неравенств

5.1.а.   a-b < 0;

5.1.б.   a-b > 0;

5.1.в.   a-b=0.

5.2.а.   -2,467 > -2,476;

5.2.б.   8,98 > 8,899;

5.3.а    -5; -4; -3; -2; -1; 0;

5.3.б.   -2; -1; 0; 1; 2; 3;

5.3.в.    5; 6; 7; 8;

5.3.г.    -8; -7; -6; -5; -4.