Скорость, время, расстояние - формулы и примеры расчета

Скорость, время и расстояние — это ключевые параметры при решении задач на движение. Эти задачи есть и в ЕГЭ и в ОГЭ по математике. Сегодня мы подробнее остановимся на этих величинах.

Содержание

Расстояние

Расстояние — это физическая величина, означающая длину между двумя объектами. Расстояние обозначается буквой S и измеряется в единицах длины: метрах. Метр — это международно-принятая единица измерения длины. Однако встречаются и другие единицы длины — километр, сантиметр, миллиметр. В этом случае целесообразно перевести единицы длины в международную систему единиц (СИ).

Например: расстояние от Земли до Солнца равно 149 597 870 700 метров.

Расстояние связано со скоростью и временем:

$S=v \cdot t$

Вот тут таблица длин и их перевода в международную систему единиц — то есть в метры.

Единицы длины	СИ
1 сантиметр	0,01 м
1 километр	1000 м
1 дециметр	0,1 м
1 миллиметр	0,001 м
1 микрометр	1·10^-6 м
1 миля	1609,34 м
1 фут	0,3048 м
1 ярд	0,9144 м
1 дюйм	0,0254 м
1 морская миля	1852 м

Время

Время — это физическая величина, которая обозначает непрерывное и необратимое (возможно) движение от прошлого к будущему через настоящее. Это фундаментальная физическая величина, единица измерения времени — секунда. Однако, в задачах могут использоваться и другие единицы времени — часы, минуты, дни.

Время можно найти по формуле:

$t=\frac{S}{v}$

Ученые о времени

По словам греческого философа Парменида (ок. 450 г. до н.э.), время и движение были иллюзиями. Его ученик Зенон Элейский разработал два знаменитых парадокса: «Ахиллес и черепаха» и «Парадокс летящей стрелы», чтобы доказать его утверждения. Платон, живший на пару поколений позже, считал, что время создано вместе со вселенной и существует независимо. Он рассматривал время как пустой контейнер, который можно заполнить движущимися вещами и событиями. Его ученик Аристотель считал, что время не существует независимо от событий, но время есть изменение и движение.

Аристотель пришел к выводу, что время не состоит из последовательных неделимых моментов «сейчас», как пытался сказать Зенон с помощью своего парадокса стрелы. Согласно Аристотелю, не существует серии моментов «сейчас», потому что такие моменты не могли бы исчезнуть в течение их собственной длительности или в следующий момент «сейчас». Исааку Ньютону (1642–1726) время понадобилось в качестве переменной в его уравнениях, и он начал думать о времени с научной точки зрения. Ньютон поддерживал идею Платона о независимости времени. Он разделил время на абсолютное (математическое) время и относительное (обычное) время.

Абсолютное время, или продолжительность, является реальным и математическим, и оно течет неуклонно, независимо от чего-либо внешнего. Относительное время кажущееся и является внешней мерой длительности, которая может быть обнаружена органами чувств с помощью движения, которое может быть точным или неточным.

Готфрид Лейбниц (1646–1716) был согласен с Аристотелем и думал, что без событий и перемен не было бы времени. Физик- теоретик Ли Смолин писал в 2010 году, что исследования квантовой гравитации подтверждают, что четырехмерное пространство-время имеет смысл только в том случае, если время реально, фундаментально и даже является единственным аспектом реальности, который мы непосредственно ощущаем.

Скорость

Скорость обозначается буквой $v$ — это физическая величина, которая обозначает какое расстояние проходит объект в единицу времени. Единица измерения скорости — м/с. Однако, встречаются также и км/ч и см/с (эти измерения не входят в международную систему единиц измерения). Скорость показывает как быстро изменяется расстояние во времени.

Например, выражение 9 м/с означает, что тело за 1 секунду проходит 9 метров. То есть за 1 секунду 9 метров, за 2 секунду еще 9 метров, итого за 2 секунду — 18 метров. В курсе школьной математики мы считаем, что скорость равномерная во времени. То есть тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния. То есть 9 м/с означает 9 метров в любую из секунд движения тела. Однако, в реальности движение бывает равномерное и неравномерное. Мы не рассматриваем неравномерное движение в курсе математики (1-6 класс), однако в курсе алгебры элементы кинематики с неравномерным движением рассматриваются.

Еще примеры: скорость 100 км/ч — это прохождение расстояния в 100 километров за 1 час.

Формула скорости

Скорость можно найти через расстояние и время по формуле:

$v=\frac{S}{t}$

Средняя скорость

Если движение тела можно разбить на несколько участков и в пределах каждого участка скорость тела не меняется, то целесообразно говорить о средней скорости.

Формула средней скорости:

$v=\frac{S_{весь \; путь}}{t_{всё \; время}}=\frac{S_1+S_2+...+ S_n}{t_1+t_2+...+ t_n}$

То есть средняя скорость это отношение всего пути, ко всему времени.

Скорости сближения и удаления

Понятие скорости ученики изучают еще в 4 классе, а далее это понятие расширяется и уточняется. Вводятся такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Не все педагоги используют эти понятия в своей работе, поскольку эти понятия можно использовать только при решении небольшого класса задач на движение и они ограничивают решение задач и другими условиями (например, если тела удаляются или сближаются не по одной прямой, а по перпендикулярным прямым). И все же, давайте мы уточним, о чем вообще идет речь.

Скорость удаления

Если два тела удаляются друг от друга, двигаясь по одной прямой, то в таких случаях говорят о скорости удаления. То есть скорость удаления характеризует расстояние, которое увеличивается по мере удаления двух тел в единицу времени.

Допустим есть два пешехода, которые удаляются друг от друга, первый пешеход удаляется со скоростью 3 км/ч, а второй пешеход со скоростью 4 км/ч. Тогда скорость удаления будет:

3+4=7 км/ч.

Действительно, расстояние, пройденное первым пешеходом за один час будет 3 километра, а расстояние, пройденное вторым пешеходом за то же время будет 4 километра. Тогда при удалении пешеходов друг от друга расстояние между ними увеличивается на 7 километров в каждый час или наши пешеходы удаляются со скоростью 7 км/ч. Мы должны сложить скорости объектов.

Формула скорости удаления:

$v_{удаления}=v_1+v_2$

где $v_1$ — скорость одного тела,

$v_2$ — скорость другого тела.

Напомним, что это понятие можно использовать только если тела двигаются в разных направлениях, располагаемых на одной прямой.

Скорость сближения двух тел

Аналогично, рассмотрим ситуацию, если два пешехода двигаются навстречу друг к другу. Один пешеход за один час проходит расстояние 2 км, а второй пешеход за то же время проходит 5 км.

Значит, расстояние между ними будем уменьшаться со скоростью 5+2 = 7 км/ч.

Формула скорости сближения:

$v_{сближения}=v_1+v_2$

где $v_1$ — скорость одного тела,

$v_2$ — скорость другого тела.

Если один пешеход догоняет другого. То скорость сближения при движении в одном направлении можно определить, если вычесть из большей скорости меньшую.

То есть, если у нас второго пешехода ( $v_2$ =3км/ч) догоняет первый пешеход ( $v_1$ =5 км/ч), то скорость их сближения будет 2 км/ч:

Формула скорости сближения при движении вдогонку:

$v_{сближения}=v_1-v_2$

где $v_1$ — скорость одного тела,

$v_2$ — скорость другого тела. При этом $v_1 > v_2$

Таблица «скорость, время, расстояние» при решении задач на движение

При решении задач на движение очень удобно пользоваться такой таблицей, в которой три столбца с данными по скорости, времени движения тел и расстоянию, которое они проходят. Эта таблица, кстати помогает легко запомнить формулы скорости, времени и расстояния, если представить что первый столбец — это первый множитель, второй столбец — второй множитель, а третий столбец — произведение.

Скорость, v, м/с

Время, t, с

Расстояние, S, м

Простой пример, найти скорость велосипедиста, если за 5 часов он прошел 45 километров.

Составляем таблицу и записываем в нее данные:

Скорость, v, км/ч	Время, t, ч	Расстояние, S, км
?	5	45

Теперь видно, что неизвестна скорость в первом столбце, значит, неизвестен первый множитель. Чтобы определить неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель: $v=S/t$ = 45/5 = 9 км/ч.

Важно! В задачах все единицы измерения должны быть приведены либо к международной системе единиц (метр, секунда, м/с) либо к одним единицам измерения (то есть если в задаче есть и м/с и км/ч можно привести всё либо к м/с (тогда и время в секундах и расстояние в метрах), либо к км/ч (тогда и время в часах будет и расстояние в километрах))

Рассмотрим теперь некоторые примеры решения задач

Примеры задач на движение

Задача 1

Школьник идет домой со скоростью 2 км/ч. Расстояние от школы до дома 1 км. За какое время школьник дойдет до дома?

Решение:

Найдем время по формуле: $\displaystyle t=\frac{S}{v}=\frac{1}{2}$ ч.

Школьник дойдет до дома за полчаса.

Ответ: 0,5 ч.

Задача 2

Автомобилист и велосипедист выехали в город из деревни одновременно. Скорость автомобилиста 50 км/ч. Расстояние до города 100 км. Какова скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста?

Решение: Составим таблицу

	Скорость, v, км/ч	Время, t, ч	Расстояние, S, км
Автомобилист	50	100/50	100
Велосипедист	x	100/x	100

Пусть скорость велосипедиста x. В таблице мы сразу смогли написать соотношения для времени движения. По условию задачи дано, что велосипедист прибыл в город на 8 часов позже автомобилиста. Запишем это:

$\displaystyle \frac{100}{x}-\frac{100}{50}=8$

Мы отнимаем от времени, которое потратил велосипедист (он же потратил больше времени) время, которое потратил автомобилист и получаем 8 часов.

Решим полученное уравнение.

$\displaystyle \frac{100}{x}-2=8$
$\displaystyle \frac{100}{x}=10$
$x=10$

Ответ: 10 км/ч

Задача 3

Стрела пролетает 180 метров за 0,05 минуты. Найдите ее скорость.

Решение: прежде чем решать задачу, переведем все единицы в одну систему единиц. Минуты переведем в секунды.

В одной минуте 60 секунд. Значит, чтобы узнать сколько секунд в 0,05 минутах, умножим 0,05 на 60, получим:

$0,05 \cdot 60=3$ c.

Тогда $\displaystyle v= \frac{180}{3}=60$ м/с.

Ответ: 60 м/с

Задача 4

Турист прошел лесной участок длиной 10 км со скоростью 5 км/ч, а затем шел по полю 20 км, со скоростью 4 км/ч. Какова средняя скорость туриста?

Решение:

Определим весь путь который прошел турист:

$\displaystyle S_{весь \; путь}=S_1+S_2=10+20=30$ км.

Для прохождения лесного участка турист потратил: $\displaystyle t_1= \frac{S_1}{v_1}=\frac{10}{5}=2$ ч, а на второй участок времени ушло: $\displaystyle t_2= \frac{S_2}{v_2}=\frac{20}{4}=5$ ч

Все время: $\displaystyle t_{всё \; время}=t_1+t_2=2+5=7$ ч

Тогда найдем среднюю скорость:

$\displaystyle v_{ср}= \frac{S_{весь \; путь}}{t_{всё \; время}}=\frac{30}{7}=4 \frac{2}{7}$ км/ч.

Ответ: $\displaystyle v_{ср}=4 \frac{2}{7}$

Задача 5

Лиса гонится за зайцем. Скорость лисы 20 м/с, а скорость зайца 15 м/с. Догонит ли лиса зайца, если заяц находится на расстоянии 300 метров от безопасного места, а лиса находится на расстоянии 200 метров от зайца?

Решение:

Заяц добежит до норы за $\displaystyle t= \frac{300}{15}=20$ секунд.

Лиса же за 20 секунд пробежит расстояние $\displaystyle S= 20 \cdot 20=400 метров$ .

Лиса не догонит зайца.

Действительно, скорость сближения лисы и зайца:

$\displaystyle v=v_{лисы}-v_{зайца}=20-15=5 м/с$

То есть, чтобы преодолеть расстояние 200 метров, которое изначально существует между лисой и зайцем, лисе понадобиться $\displaystyle t=\frac{200}{5}=40 с$

Заяц же уже 20 секунд будет в безопасном месте.

Ответ: лиса зайца не догонит.