Линейная функция - определение, основные свойства, график.

Если функция задана формулой $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — некоторые числа, называется линейной функцией. Линейная функция областью определения имеет множество всех действительных чисел, потому что выражение $kx+b$ имеет смысл при всех значениях $x$ . Все частные виды линейной функции можно записать общей формулой $y=kx+b$ . Линейные функции изучаются в школьном курсе математики 7 класса. О том какие они бывают, как построить их графики мы поговорим в этой статье. Вы получите все ответы на тему линейной функции, потому что мы с вами разберем примеры определения ее вида, построения графика и его анализа. Почитать о функции, что это такое и как ее можно задать можно здесь.

Содержание

Определение линейной функции

Линейной функцией называется функция вида $f(x)=kx+b$ , где $x \in (-\infty; +\infty)$ и $k$ — любое число. Графиком является прямая линия. Отсюда и название функции — линейная.

Вот так выглядит график линейной функции:

линейная функция y kx b и ее график — Линейная функция y=kx+b и ее график

Примеры линейных функций:

$y=2x+5$ ,
$y=4x$ ,
$y=x$

Обратите внимание, что уравнение $y=kx+b$ — описывает общий вид, есть и частные виды, линейной функции, например, $y=kx$ (когда $b=0$ ) и $y=b$ , когда $k=0$ .

Коэффициент $k$ означает угол наклона графика к оси $Ox$ . Коэффициент $b$ — означает смещение графика вдоль оси $Oy$ .

Стоит заметить, что уравнение $y=kx+b$ задает прямую пропорциональность между значением $y$ и аргументом $x$ . Прямая пропорциональность — это зависимость вида $y=kx$ , она изучается в курсе алгебры.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек.

Коэффициенты k и b

Коэффициент $k$ характеризует угол, который образует прямая $y=kx$ с положительным направлением оси $Ox$ . Поэтому коэффициент k линейной функции называется угловым коэффициентом.

Если $k>0$ , то угол между графиком линейной функции $y=kx+b$ и осью $Ox$ острый.
Если $k<0$ , то угол между графиком линейной функции $y=kx+b$ и осью $Ox$ тупой.
Если $k=0$ , то прямая совпадает с осью $Ox$ .

Коэффициент $b$ — показывает сдвиг графика вдоль оси $Oy$ .

У коэффициентов $k$ и $b$ есть геометрический смысл. Коэффициент $k$ показывает длину отрезка, которую прямая отсекает по оси $Oх$ , начало отрезка находится в точке $O(0,0)$ . Геометрический смысл коэффициента $b$ — тангенс угла наклона прямой линии к положительному направлению оси $Ox$ . По данному коэффициенту можно определить угол наклона прямой линии, например, $k=1$ , это означает $tg \alpha=1$ и $\alpha=45^0$ . То есть угол наклона прямой к оси $Ox$ будет 45⁰.

Примеры

Определите коэффициенты $k$ и $b$ функций и результаты запишите в таблицу.

Линейная функция	Коэффициент $k$	Коэффициент $b$
$y=x$	1	0
$y=3x+5$	3	5
$y=6$	0	6
$y=-x+3$	-1	3
$y=2x-5$	2	-5
$y=-3x-1$	-3	-1

Обратите внимание, что данная функция может быть задана и числом, например, $y=6$ , это означает, что угловой коэффициент равен нулю, то есть $tg \alpha=0$ , а значит $\alpha=0^0$ и прямая параллельна оси $Ox$ . Коэффициенты $k$ и $b$ могут принимать любые числовые значения, то есть могут быть и 0, и 1, и отрицательным числом.

Попробуем записать функцию y=kx+b, зная только значения коэффициентов.

Пример 1

Запишите линейную функцию, если известно, что $k=1$ , $b=-2$ .

Решение: сначала запишем общий вид линейной функции: $y=kx+b$ , теперь вместо $k$ и $b$ подставим указанные значения: $y=1 \cdot x+(-2)$ . Упростим выражение и получим:

$y=x-2$ .

Ответ: $y=x-2$

Пример 2

Запишите линейную функцию, если известны коэффициенты $k=3$ и $b=-5$ .

Решение: $y=kx+b=3 \cdot x +(-5)=3x-5$ .

Ответ: $y=3x-5$ .

Область определения и область значений

Проанализируем и определим область определения линейной функции. Смотрим на уравнение, очевидно, что в это уравнение можно подставить любое значение $x$ . Это значит, что областью определения является вся числовая ось: $x \in (-\infty; +\infty)$ .

Так как и $y$ может принимать любые значения, то мы можем говорить о том, что область значений линейной функции — все числа: $y \in (-\infty; +\infty)$ .

График линейной функции $y=kx+b$

Если вы видите прямую линию — например, прямую дорогу или столб, дерево, то знайте — линии эти могут быть описаны с помощью функции, которая называется линейной.

Чтобы построить график функции $y=kx+b$ необходимо и достаточно взять всего две точки. Построим таблицу координат точек:

x	0	-b/k
y	b	0

Таким образом, мы можем построить график любой линейной функции вида $y=kx+b$ .

Примеры построения графика линейной функции

Пример 1

Построим график линейной функции $y=2x+1$ .

Графиком функции $y=2x+1$ является прямая линия. Для построения прямой достаточно взять две точки.

Возьмем точки $A(0; 1)$ и $B(-\frac{1}{2}; 0)$ . Кстати, эти точки являются одновременно и точками пересечения графика с осями $Oy$ и $Ox$ соответственно.

Нарисуем координатные оси, покажем масштаб и отметим точки $A$ и $B$ , затем их соединим, получим прямую. Эта прямая и будет графиком функции $y=2x+1$ .

Итак, мы научились с вами строить график функции, зная ее уравнение. Алгоритм построения графика линейной функции прост:

Найти координаты двух точек, удовлетворяющих данному уравнению прямой. Для этого берем произвольное значение аргумента и подставляем его в уравнение, вычисляем значение $y$ . Можно действовать и наоборот — задать $y$ определенное значение и решить уравнение относительно $x$ .
Рисуем координатные оси, указываем их направление, определяем масштаб.
Наносим найденные точки на координатную плоскость.
Проводим прямую, через две эти точки.

Совет: если точки взяты близко друг к другу, то при продлении прямой можно получить погрешность рисования — отклонение на несколько градусов, поэтому старайтесь брать точки подальше друг от друга, или же возьмите пару контрольных точек, опираясь на уравнение прямой линии.

Пример 2

Построим новый график линейной функции. Пусть нам дано уравнение: $y=-x-2$ .

Находим две точки. Пусть $x=0$ , тогда подставим в формулу функции ноль вместо $x$ , получим: $y=-0-2=-2$ . Вторую точку возьмем немного подальше — пусть $x=3$ , тогда $y=-3-2=-5$ .

Итак, мы получили две точки: $A(0;-2)$ и $B(3;-5)$ . Построим график прямой.

Убывает или возрастает

Функция прямой является убывающей или возрастающей функцией? Вопрос не корректен. Все функции прямых разные, одни убывают, другие возрастают, надо обращать внимание при оценке убывания или возрастания функции на поведение ее при изменении аргумента. Существует такое правило:

Если при увеличении аргумента значение функции возрастает, то функция является возрастающей, если значение функции при возрастании аргумента уменьшается, то функция является убывающей. Давайте посмотрим как это выглядит на графике.

Перед вами два графика функции, — на каком графике функция убывает, а на каком возрастает, можно понять по тому увеличивается или уменьшается значение функции при движении в положительном направлении оси $Ox$ .

Теперь легко увидеть, почему ниже приведен график убывающей линейной функции:

Как мы видим — при увеличении значения аргумента значение функции уменьшается.

Свойства линейной функции

Функция y = x называется линейной функцией, так как переменная x находится в первой степени. Графиком такой функции будет прямая.

Построение графика функции y = x

Для того, чтобы построить график линейной функции нам необходимо задать две точки. Берем их произвольно. Пусть $x_1=0$ , тогда $y_1=0$ . И вторая точка $x_2=1$ , тогда $y_2=1$ .

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Это и есть график функции y = x.

Свойства функции

Выпишем свойства функции y = x:

Функция y = x является линейной, непрерывной и монотонно возрастающей на всем протяжении координатной плоскости, со скоростью 1, так как производная функции равна 1.
Любое значение переменной будет равно такому же значению функции.
График функции проходит через начало координат.
График функции располагается в первой и четвертой четвертях.
Функция принимает отрицательные значения при отрицательных значениях переменной и положительные значения при положительных значениях переменной.
Функция y = x является нечетной, так как $f(-x)=-f(1)$ (условие нечетности функции).