Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.
Решение.
∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.
∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.
∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.
∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.
Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.
Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.
Решение.
Так как у параллелограмма имеется 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.
∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда ∠C =∠A = 70°.
Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.
Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.
Решение.
Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.
х + 3х = 180;
4х = 180;
х = 180 : 4;
х = 45.
Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.
Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,
∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.
Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.
Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Проведем диагональ BD и рассмотрим Δ ADB и Δ CBD.
AD = BC по условию. Сторона BD – общая. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.
Решение.
Периметр параллелограмма PABCD= 2 ∙ (AB + AD).
Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x = 3,5;
14x = 3,5;
x = 3,5 : 14;
x = 0,25.
Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.
Проверка.
Периметр параллелограмма PABCD= 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.
Ответ: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.
