Эта фигура не самостоятельна, она образуется из выпуклого четырехугольника, если соединить в нем точки — середины сторон. На рисунке — параллелограмм Вариньона. Эту геометрическую фигуру изучают по геометрии в 8 классе.
параллелограмм Вариньона
Параллелограмм открыл французский математик Пьер Вариньон (1654 — 1722). Соединив середины сторон выпуклого четырехугольника, математик получил еще один четырехугольник. Вариньон доказал, что полученный четырехугольник является параллелограммом и описал его свойства. Это удивительное свойство любого четырехугольника — середины его сторон образуют всегда параллелограмм. Открытие Вариньона было опубликовано посмертно в 1731 году. Оно такое простое, что кажется странным — почему оно не было открыто гораздо раньше. Как мы знаем — все гениальное — просто.
Диагонали параллелограмма Вариньона соединяют середины противоположных сторон исходного четырехугольника и называются бимедианами.



Содержание
Теорема Вариньона
Доказать, что , вершинами которого являются точки — середины сторон выпуклого четырехугольника
, параллелограмм.
Доказательство
Соединим точки и
и рассмотрим треугольники
и
. Они имеют общее основание
.
— средняя линия треугольника
,
— средняя линия треугольника
Так как в треугольника средняя линия параллельна основанию и равна его половине, то
и
параллельны основанию
и равны его половине, а, значит, они параллельны между собой и равны.
Аналогично доказывается параллельность и равенство и
.
Получается в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны. Это параллелограмм.
Теорема доказана.
Свойства параллелограмма Вариньона
Свойство 1
Стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям любого выпуклого четырехугольника и равны их половинам.
Доказательство:
Нарисуем произвольный выпуклый четырехугольник , проведем в нем диагонали и отметим точки — середины сторон. Соединим эти точки, получим параллелограмм Вариньона
.
Докажем, что и
и что
и
.
Из доказательства данных утверждений будут следовать доказательства следующих утверждений, так как параллелограмм:
и
и что
и
.
Действительно, рассмотрим треугольник — в нем
является средней линией (по построению), тогда
и
(по свойству средней линии треугольника).
Рассмотрим теперь треугольник — в нем
— средняя линия. И по свойству средней линии треугольника следует, что
и
.
Таким образом, данное свойство доказано.
Следующие свойства вы сможете доказать самостоятельно.
Свойство 2
Если диагонали исходного четырехугольника пересекаются под прямым углом, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
Свойство 3
Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади исходного четырехугольника.
Докажем это утверждение.
Нарисуем четырехугольник и в нем наш параллелограмм
. Соединим точки
и
. Проведем высоту
и высоты треугольников
и
—
и
. Точка
— точка пересечения высоты
и диагонали
.
.
Так как , а также
, то получим:
Раскроем скобки:
Так как и
, получаем:
.
Свойство 4
Периметр параллелограмма Вариньона, равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
Действительно — каждая из сторон параллелограмма равна половине диагонали четырехугольника, которой она параллельна. Так как является средней линией треугольника с основанием совпадающем с диагональю.
Знание о существовании такого замечательного параллелограмма внутри каждого выпуклого четырехугольника помогает быстро решать множество геометрических задач. И нет необходимости сначала доказывать, что такая фигура является параллелограммом и что ее площадь равно половине площади исходного четырехугольника.
Благодарю за ценную информацию