Параллелограмм Вариньона - теорема Вариньона и ее следствия

Эта фигура не самостоятельна, она образуется из выпуклого четырехугольника, если соединить в нем точки — середины сторон. На рисунке $N_1N_2N_3N_4$ — параллелограмм Вариньона. Эту геометрическую фигуру изучают по геометрии в 8 классе.

N1N2N3N4 параллелограмм Вариньона — Рисунок 1. $N_1N_2N_3N_4$ параллелограмм Вариньона

Параллелограмм открыл французский математик Пьер Вариньон (1654 — 1722). Соединив середины сторон выпуклого четырехугольника, математик получил еще один четырехугольник. Вариньон доказал, что полученный четырехугольник является параллелограммом и описал его свойства. Это удивительное свойство любого четырехугольника — середины его сторон образуют всегда параллелограмм. Открытие Вариньона было опубликовано посмертно в 1731 году. Оно такое простое, что кажется странным — почему оно не было открыто гораздо раньше. Как мы знаем — все гениальное — просто.

Диагонали параллелограмма Вариньона соединяют середины противоположных сторон исходного четырехугольника и называются бимедианами.

Рисунок 2. Бимедианы в параллелограмме Вариньона ( $N_1N_3$ и $N_2N_4$ )

Содержание

Теорема Вариньона

Доказать, что $N_1N_2N_3N-4$ , вершинами которого являются точки — середины сторон выпуклого четырехугольника $ABCD$ , параллелограмм.

Доказательство

Соединим точки $B$ и $D$ и рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCD$ . Они имеют общее основание $BD$ .

Рисунок 3. К доказательству теоремы Вариньона

$N_1N_4$ — средняя линия треугольника $ABD$ , $N_3N_2$ — средняя линия треугольника $BCD$ Так как в треугольника средняя линия параллельна основанию и равна его половине, то $N_1N_4$ и $N_3N_2$ параллельны основанию $BD$ и равны его половине, а, значит, они параллельны между собой и равны.

Аналогично доказывается параллельность и равенство $N_1N_3$ и $N_2N_4$ .

Получается в четырехугольнике $N_1N_2N_3N_4$ противоположные стороны равны и параллельны. Это параллелограмм.

Теорема доказана.

Свойства параллелограмма Вариньона

Свойство 1

Стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям любого выпуклого четырехугольника и равны их половинам.

Доказательство:

Нарисуем произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$ , проведем в нем диагонали и отметим точки — середины сторон. Соединим эти точки, получим параллелограмм Вариньона $N_1N_2N_3N_4$ .

Рисунок 4. К доказательству свойства параллелограмма Вариньона

Докажем, что $N_1N_2||AC$ и $\displaystyle N_1N_2=\frac{1}{2}AC$ и что $N_2N_3||BD$ и $\displaystyle N_2N_3=\frac{1}{2}BD$ .

Из доказательства данных утверждений будут следовать доказательства следующих утверждений, так как $N_1N_2N_3N_4$ параллелограмм:

$N_3N_4||AC$ и $\displaystyle N_3N_4=\frac{1}{2}AC$ и что $N_1N_4||BD$ и $\displaystyle N_1N_4=\frac{1}{2}BD$ .

Действительно, рассмотрим треугольник $ABC$ — в нем $N_1N_2$ является средней линией (по построению), тогда $N_1N_2||AC$ и $\displaystyle N_1N_2=\frac{1}{2}AC$ (по свойству средней линии треугольника).

Рассмотрим теперь треугольник $BCD$ — в нем $N_2N_3$ — средняя линия. И по свойству средней линии треугольника следует, что $N_2N_3||BD$ и $\displaystyle N_2N_3=\frac{1}{2}BD$ .

Таким образом, данное свойство доказано.

Следующие свойства вы сможете доказать самостоятельно.

Свойство 2

Если диагонали исходного четырехугольника пересекаются под прямым углом, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Свойство 3

Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади исходного четырехугольника.

Докажем это утверждение.

Нарисуем четырехугольник $ABCD$ и в нем наш параллелограмм $N_1N_2N_3N_4$ . Соединим точки $A$ и $C$ . Проведем высоту $N_2K$ и высоты треугольников $ABC$ и $ADC$ — $BH$ и $DF$ . Точка $M$ — точка пересечения высоты $N_2K$ и диагонали $AC$ .

К доказательству площади параллелограмма Вариньона — Рисунок 5. К доказательству свойства площади параллелограмма Вариньона

$S_{N_1N_2N_3N_4}=N_1N_4 \cdot N_2K$ .

Так как $\displaystyle N_1N_4=\frac{1}{2} \cdot AC$ , а также $N_2K=N_2M+MK$ , то получим:

$\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot (N_2M+MK)$

Раскроем скобки:

$\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot N_2M+\frac{1}{2} \cdot AC \cdot MK$

Так как $\displaystyle MK=\frac{1}{2}DF$ и $N_2M=\frac{1}{2}BH$ , получаем:

$\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{4} \cdot AC \cdot BH+\frac{1}{4} \cdot AC \cdot DF=$

$\displaystyle =\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH+\frac{1}{2} \cdot AC \cdot DF\right)=$

$\displaystyle =\frac{1}{2} \left(S_{ABC}+S_{ADC}\right)=\frac{1}{2}S_{ABCD}$ .

Свойство 4

Периметр параллелограмма Вариньона, равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.

Действительно — каждая из сторон параллелограмма равна половине диагонали четырехугольника, которой она параллельна. Так как является средней линией треугольника с основанием совпадающем с диагональю.

Знание о существовании такого замечательного параллелограмма внутри каждого выпуклого четырехугольника помогает быстро решать множество геометрических задач. И нет необходимости сначала доказывать, что такая фигура является параллелограммом и что ее площадь равно половине площади исходного четырехугольника.