Параллелограмм Вариньона

Параллелограмм Вариньона 8 класс Геометрия.
Этот замечательный четырехугольник можно построить в каждом выпуклом четырехугольнике, просто соединив середины его сторон. И всегда получится параллелограмм, площадью в два раза меньшей исходного четырехугольника. Ну не чудо ли? Настоящее геометрическое чудо в планиметрии.

Эта фигура не самостоятельна, она образуется из выпуклого четырехугольника, если соединить в нем точки — середины сторон. На рисунке N_1N_2N_3N_4 — параллелограмм Вариньона. Эту геометрическую фигуру изучают по геометрии в 8 классе.

N1N2N3N4 параллелограмм Вариньона
Рисунок 1. N_1N_2N_3N_4 параллелограмм Вариньона

Параллелограмм открыл французский математик Пьер Вариньон (1654 — 1722). Соединив середины сторон выпуклого четырехугольника, математик получил еще один четырехугольник. Вариньон доказал, что полученный четырехугольник является параллелограммом и описал его свойства. Это удивительное свойство любого четырехугольника — середины его сторон образуют всегда параллелограмм. Открытие Вариньона было опубликовано посмертно в 1731 году. Оно такое простое, что кажется странным — почему оно не было открыто гораздо раньше. Как мы знаем — все гениальное — просто.

Диагонали параллелограмма Вариньона соединяют середины противоположных сторон исходного четырехугольника и называются бимедианами.


Бимедианы в параллелограмме Вариньона
Рисунок 2. Бимедианы в параллелограмме Вариньона (N_1N_3 и N_2N_4)

Теорема Вариньона

Доказать, что N_1N_2N_3N-4, вершинами которого являются точки — середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD, параллелограмм.

Доказательство

Соединим точки B и D и рассмотрим треугольники ABD и BCD. Они имеют общее основание BD.

К доказательству теоремы Вариньона
Рисунок 3. К доказательству теоремы Вариньона

N_1N_4 — средняя линия треугольника ABD, N_3N_2 — средняя линия треугольника BCD Так как в треугольника средняя линия параллельна основанию и равна его половине, то N_1N_4 и  N_3N_2 параллельны основанию BD и равны его половине, а, значит, они параллельны между собой и равны.

Аналогично доказывается параллельность и равенство N_1N_3 и  N_2N_4.

Получается в четырехугольнике N_1N_2N_3N_4 противоположные стороны равны и параллельны. Это параллелограмм.

Теорема доказана.

Свойства параллелограмма Вариньона

Свойство 1

Стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям любого выпуклого четырехугольника и равны их половинам.

Доказательство:

Нарисуем произвольный выпуклый четырехугольник ABCD, проведем в нем диагонали и отметим точки — середины сторон. Соединим эти точки, получим параллелограмм Вариньона N_1N_2N_3N_4.

К доказательству свойства параллелограмма Вариньона
Рисунок 4. К доказательству свойства параллелограмма Вариньона

Докажем, что N_1N_2||AC и \displaystyle N_1N_2=\frac{1}{2}AC и что N_2N_3||BD и \displaystyle N_2N_3=\frac{1}{2}BD.

Из доказательства данных утверждений будут следовать доказательства следующих утверждений, так как N_1N_2N_3N_4 параллелограмм:

N_3N_4||AC и \displaystyle N_3N_4=\frac{1}{2}AC и что N_1N_4||BD и \displaystyle N_1N_4=\frac{1}{2}BD.

Действительно, рассмотрим треугольник ABC — в нем N_1N_2 является средней линией (по построению), тогда N_1N_2||AC и \displaystyle N_1N_2=\frac{1}{2}AC (по свойству средней линии треугольника).

Рассмотрим теперь треугольник BCD — в нем N_2N_3 — средняя линия. И по свойству средней линии треугольника следует, что N_2N_3||BD и \displaystyle N_2N_3=\frac{1}{2}BD.

Таким образом, данное свойство доказано.

Следующие свойства вы сможете доказать самостоятельно.

Свойство 2

Если диагонали исходного четырехугольника пересекаются под прямым углом, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Свойство 3

Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади исходного четырехугольника.

Докажем это утверждение.

Нарисуем четырехугольник ABCD и в нем наш параллелограмм N_1N_2N_3N_4. Соединим точки A и C. Проведем высоту N_2K и высоты треугольников ABC и ADC — BH и DF. Точка M — точка пересечения высоты N_2K и диагонали AC.

К доказательству площади параллелограмма Вариньона
Рисунок 5. К доказательству свойства площади параллелограмма Вариньона

 

S_{N_1N_2N_3N_4}=N_1N_4 \cdot N_2K.

Так как \displaystyle N_1N_4=\frac{1}{2} \cdot AC, а также N_2K=N_2M+MK, то получим:

\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot (N_2M+MK)

Раскроем скобки:

\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot N_2M+\frac{1}{2} \cdot AC \cdot MK

Так как \displaystyle MK=\frac{1}{2}DF и N_2M=\frac{1}{2}BH, получаем:

\displaystyle S_{N_1N_2N_3N_4}=\frac{1}{4} \cdot AC \cdot BH+\frac{1}{4} \cdot AC \cdot DF=

\displaystyle =\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH+\frac{1}{2} \cdot AC \cdot DF\right)=

\displaystyle =\frac{1}{2} \left(S_{ABC}+S_{ADC}\right)=\frac{1}{2}S_{ABCD}.

Свойство 4

Периметр параллелограмма Вариньона, равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.

Действительно — каждая из сторон параллелограмма равна половине диагонали четырехугольника, которой она параллельна. Так как является средней линией треугольника с основанием совпадающем с диагональю.

Знание о существовании такого замечательного параллелограмма внутри каждого выпуклого четырехугольника помогает быстро решать множество геометрических задач. И нет необходимости сначала доказывать, что такая фигура является параллелограммом и что ее площадь равно половине площади исходного четырехугольника.

Оцените статью
( 13 оценок, среднее 4.31 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
1 Комментарий
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Ликуся

Вау🏂

Adblock
detector