8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

    I. ax2=0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.

    Решить уравнения.

    Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x2.

    Решение. Раскроем скобки, умножив на каждое слагаемое в скобках:

    2x2+6x=6x-x2; переносим слагаемые из правой части в левую:

    2x2+6x-6x+x2=0; приводим подобные слагаемые:

    3x2=0, отсюда  x=0.

    Ответ: 0.

    II. ax2+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2=-b/a. Ответ: 0; -b/a.

    Пример 2. 5x2-26x=0.

    Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

    х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

    х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

    Ответ: 0; 5,2.

    Пример 3. 64x+4x2=0.

    Решение. Вынесем общий множитель за скобки:

    4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

    Ответ: -16; 0.

    Пример 4. (x-3)2+5x=9.

    Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

    x2-6x+9+5x=9;  преобразуем к виду: x2-6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

    x2-x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

    Ответ: 0; 1.

    III. ax2+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax2=-c → x2=-c/a.

    Если (-c/a)<0, то действительных корней нет. Если (-с/а)>0, то имеем два действительных корня:

    Пример 5. x2-49=0.

    Решение. 

    x2=49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

    Пример 6. 9x2-4=0.

    Решение.