11.1.1. Основные формулы и свойства неопределенного интеграла

    Все простейшие формулы интегралов будут иметь вид:

    ∫f (x) dx=F (x)+C, причем, должно выполняться равенство:

    (F (x)+C)'=f (x).

    Формулы интегрирования можно получить обращением соответствующих формул дифференцирования.

    Действительно,

    Показатель степени n может быть  и дробным. Часто приходится находить неопределенный интеграл от функции у=√х. Вычислим интеграл от функции f (x)=√x, используя формулу 1).

    Запишем этот пример в виде формулы 2).

    Так как (х+С)'=1, то ∫dx=x+C.

    3) ∫dx=x+C.

    Заменяя 1/х² на х-2, вычислим интеграл от 1/х².

    А можно было получить этот ответ обращением известной формулы дифференцирования:

    Запишем наши рассуждения в виде формулы 4).

    Умножив обе части полученного равенства на 2, получим формулу 5).

    Найдем интегралы от основных тригонометрических функций, зная их производные: (sinx)'=cosx; (cosx)'=-sinx; (tgx)'=1/cos²x; (ctgx)'=-1/sin²x. Получаем формулы интегрирования 6) — 9).

    6) ∫cosxdx=sinx+C;

    7) ∫sinxdx=-cosx+C;

    После изучения показательной и логарифмической функций, добавим еще несколько формул.

    Основные свойства неопределенного интеграла.

    I. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

    (∫f (x) dx)'=f (x).

    II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

    d∫f (x) dx=f (x) dx.

    III. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.

    ∫dF (x)=F (x)+C  или   ∫F'(x) dx=F (x)+C.

    Обратите внимание: в I, II и III свойствах знаки дифференциала и интеграла (интеграла и дифференциала) «съедают» друг друга!

    IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла.

    ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k - постоянная величина, не равная нулю.

    V.  Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

    ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

    VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины, причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

    Можно записать: