8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

I. ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Дискриминант D=b²— 4ac.

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D<0, то действительных корней нет.

Пример 1)  2x²+5x-3=0. 

Решение. a=2; b=5; c=-3.

D=b²— 4ac=5²-4∙2∙(-3)=25+24=49=7²>0; 2 действительных корня.

Пример 2)  4x²+21x+5=0.

Решение. a=4; b=21; c=5.

D=b²— 4ac=21²— 4∙4∙5=441-80=361=19²>0; 2 действительных корня.

II.  ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

коэффициенте b

Пример 3)  3x²-10x+3=0.

Решение. a=3; b=-10 (четное число); c=3.

Пример 4) 5x²-14x-3=0.

Решение. a=5; b= -14 (четное число); c=-3.

Пример 5)  71x²+144x+4=0.

Решение. a=71; b=144 (четное число); c=4.

Пример 6) 9x²-30x+25=0.

Решение. a=9; b=-30 (четное число); c=25.

III.  ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0. 

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

x₁=-1, x₂=-c/a.

Пример 7)  2x²+9x+7=0.

Решение. a=2; b=9; c=7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=-1, x₂=-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.

IV.  ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0. 

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

x₁=1, x₂=c/a.

Пример 8 )  2x²-9x+7=0.

Решение. a=2; b=-9; c=7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=1, x₂=c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.