8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

    I. ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

    Дискриминант D=b2— 4ac.

    Если D>0, то имеем два действительных корня:

    Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

    Если D<0, то действительных корней нет.

    Пример 1)  2x2+5x-3=0. 

    Решение. a=2; b=5; c=-3.

    D=b2— 4ac=52-4∙2∙(-3)=25+24=49=72>0; 2 действительных корня.

    Пример 2)  4x2+21x+5=0.

    Решение. a=4; b=21; c=5.

    D=b2— 4ac=212— 4∙4∙5=441-80=361=192>0; 2 действительных корня.

    II.  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

    коэффициенте b

    Пример 3)  3x2-10x+3=0.

    Решение. a=3; b=-10 (четное число); c=3.

    Пример 4) 5x2-14x-3=0.

    Решение. a=5; b= -14 (четное число); c=-3.

    Пример 5)  71x2+144x+4=0.

    Решение. a=71; b=144 (четное число); c=4.

    Пример 6) 9x2-30x+25=0.

    Решение. a=9; b=-30 (четное число); c=25.

    III.  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0. 

    Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

    x1=-1, x2=-c/a.

    Пример 7)  2x2+9x+7=0.

    Решение. a=2; b=9; c=7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

    Тогда x1=-1, x2=-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.

    IV.  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0. 

    Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

    x1=1, x2=c/a.

    Пример 8 )  2x2-9x+7=0.

    Решение. a=2; b=-9; c=7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

    Тогда x1=1, x2=c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.