Дискриминант для решения квадратных уравнений и нахождения корней

В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения - через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна

$D=b^2-4ac$

Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.

Содержание

Определение

Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.

Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.

По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.

Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.

Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой $D$ или знаком Δ. И находится по формуле:

$D=b^2-4ac$ , где

$b$ , $a$ и $c$ — коэффициенты уравнения:

$ax^2+bx+c=0$

Корни через дискриминант определяются по формулам:

$\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

Пример вычисления дискриминанта:

Вычислим дискриминант в уравнении $6x^2+4x+2=0$ .

По формуле находим:

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 6 \cdot 2=16-48=-32$

Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:

$\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения для исходного уравнения:

$\displaystyle x_1=\frac{-4-\sqrt{-32}}{12}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-4+\sqrt{-32}}{12}$

Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции $f (x)=6x^2+4x+2$ — он нигде не пересечет ось $Ox$ , то есть ни при каком $x$ мы не получим ноль.

Геометрический смысл дискриминанта

Что означает дискриминант на графике, каков его геометрический смысл? Графически дискриминант квадратного уравнения характеризует расстояние по оси абсцисс между точкой — вершиной параболы (парабола — график квадратичной функции) и точкой пересечения графика с осью абсцисс. Посмотрите на рисунок. На нем видно:

Если дискриминант равен нулю (D=0), это значит, что вершина параболы и является точкой пересечения с осью абсцисс — расстояние между точкой пересечения и вершиной параболы равно нулю.

Когда D>0, то справа и слева от точки абсцисс вершины параболы на одинаковом расстоянии $\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{2a}$ будут находиться точки пересечения параболы $ax^2+bx+c=y$ , которые являются корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$ .

Когда D<0 — это означает, что точек действительных отметить на оси абсцисс нельзя, то есть от вершины отложить расстояние до точек пересечения графика с осью абсцисс невозможно, то есть этих точек пересечения нет. График не пересекает ось абсцисс и корней уравнения [katex]ax^2+bx+c=0[/katex] нет.

Значение дискриминанта геометрический смысл — Значение дискриминанта и его геометрический смысл

Корни квадратного уравнения через дискриминант.

Полное квадратное уравнение

Пусть нам дано уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ . Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.

Если D>0 получаем два вещественных корня $\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ .
Если D=0 корни будут совпадать: $\displaystyle x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$
Если D<0, вещественных корней нет, но есть мнимые корни или так называемые комплексные корни (обычно изучаются в курсе математического анализа в ВУЗах, хотя иногда и встречаются в алгебре 9-11 классов).

Неполное квадратное уравнение

Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.

Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
Если равны нулю два коэффициента: $b=0$ и $c=0$ , тогда $ax^2=0$ . Решением такого уравнения будет: $x=0$ .
Если равен нулю коэффициент b, то имеем $D=-4ac$ и $\displaystyle x_1= \frac{\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2= -\frac{\sqrt{D}}{2a}$ .
При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем $D=b^2$ и $\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ .

Приведенное квадратное уравнение

Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ , в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.

Дискриминант находится по формуле: $D=b^2-4c$ .

Если второй коэффициент кратен 2

Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а $\displaystyle \frac{D}{4}$ по формуле:

$\displaystyle \frac{D}{4}=\left ( \frac{b}{2} \right)^2-ac$ ,

а корни: $\displaystyle x_1=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{D}{4}}}{a}$ и второй корень $\displaystyle x_2=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{D}{4}}}{a}$ .

Примеры нахождения корней уравнения с помощью дискриминанта

Пример 1

Решим уравнение: $4x^2+5x-5=0$

Находим дискриминант: $D=25-4 \cdot 4 \cdot (-5)=25+80=105$

Корни: $\displaystyle x_1=\frac{-5-\sqrt{105}}{2\cdot 4}$ , $\displaystyle x_2=\frac{-5+\sqrt{105}}{2\cdot 4}$
или

$\displaystyle x_1=\frac{-5-\sqrt{105}}{8}$ , $\displaystyle x_2=\frac{-5+\sqrt{105}}{8}$

Пример 2

Сколько корней в данном уравнении $2x^2-3x+6=0$ ?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти дискриминант:

$D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 6=9-48=-39$
$D<0[/katex] — действительных корней нет.</p> <h3>Пример 3</h3> <p>[katex]x^2-6x-72=0$ — найти корень.
$D=b^2-4ac=(-6)^2-4 \cdot (-72)=36+288=324$

Так как $D>0$ , имеем два корня:

$\displaystyle x_1=\frac{6-\sqrt{324}}{2}, x_2=\frac{6+\sqrt{324}}{2}$
$\displaystyle x_1=\frac{6-18}{2}=-6, x_2=\frac{6+18}{2}=12$

Пример 4

Решить неполное уравнение

$x^2-4=0$

Способ 1

Разложим левую часть по формуле разность квадратов:

$(x-2)(x+2)=0$

Тогда корни:

$x_1=-2, x_2=2$

Способ 2

Решим задачу с помощью дискриминанта: $D=0^2-4(-4)=16$ , тогда $\displaystyle x_1=\sqrt{D}/2=\sqrt{16}/2=4/2=2$ ,

$\displaystyle x_2=-\sqrt{D}/2=-\sqrt{16}/2=-4/2=-2$

Пример 5

Придумайте такое квадратное уравнение, в котором будет нулевой дискриминант.

Решение:

Так как формула дискриминанта: $D=b^2-4ac$ , то выберем любые коэффициенты $a$ и $b$ , а $c$ найдем, если приравняем $D=b^2-4ac$ к нулю.

Пусть $a=7$ , a $b=4$ , тогда $\displaystyle D=4^2-4\cdot 7\cdot c=0$
$4^2-4\cdot 7\cdot c=0$
$16-28c=0$
$-28c=-16$ Разделим левую и правую части на -4.

$7c=4$
$\displaystyle c=\frac{4}{7}$

И, получаем: $\displaystyle 7x^2+4x+\frac{4}{7}=0$

Ответ: $\displaystyle 7x^2+4x+\frac{4}{7}=0$

Выводы

Самое важное, что надо запомнить, это формулу:

$D=b^2-4ac$

и как определяются корни квадратного уравнения:

$\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ и $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

Можно забыть, как определяются корни в разных видах квадратных уравнений, неполных, приведенных, но если вы знаете главное — как определяется дискриминант и корни в полном квадратном уравнении, то вы сможете решить любое уравнение второй степени.

8 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Math Admin

Слово обозначает «отличие», отличительные признаки многочлена от любого другого.

Ответить

Анна

Скажите, пожалуйста, как именно дискриминант определяет, есть корни у уравнения или нет?

Ответить на Анна

Если D>0, то 2 различных корня, если D=0, то корни совпадают (одно значение), если D<0, то действительных корней нет. В тексте смотрите раздел «Полное квадратное уравнение».

Ответить на Math Admin

Это да, это я понимаю, но почему если D>0 , то число корней 2? Почему если D= 0, то корень 1 и если D<0, то нет корней? Как люди поняли, что это так?

Марик

В тексте есть графики — на них видно, что означает дискриминант. Поняли, как я думаю, на постоянных тренировках в решении уравнений и рисовании их графиков.

Карл Рудольфович

Есть еще дискриминант гамильтониана.

Дискриминант гамильтониана физической системы зависит от конкретной рассматриваемой системы. В общем, гамильтониан представляет собой математическое представление энергии системы и обычно является функцией координат и импульсов системы.

Например, в случае атома водорода гамильтониан дается выражением:

H = — (1/2m)(d^2/dx^2) — (Ze^2/r)

Где m — масса электрона, e — заряд электрона, Z — атомный номер, r — расстояние между электроном и ядром.

Дискриминант этого гамильтониана можно вычислить, взяв определитель матрицы, образованной частными производными второго порядка от H по координатам и импульсам. Так что в этом случае дискриминант гамильтониана атома водорода равен нулю.

Стоит отметить, что формулы для гамильтониана и дискриминанта могут быть разными для разных систем и в разных областях физики. Гамильтониан часто определяется для конкретных систем, и дискриминант рассчитывается соответствующим образом.

Дополню тему, не смог пройти мимо этой прекрасной темы — посвятил изучению дискриминанта в разных областях знаний всю свою жизнь. Напишу про дискриминант кубического уравнения.

Кубическое уравнение — это уравнение вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, где a, b, c и d — коэффициенты.

Дискриминант кубического уравнения — это величина, которая может быть вычислена из коэффициентов уравнения и дает информацию о характере решений уравнения.

Дискриминант кубического уравнения определяется выражением:

D = b ^ 2c ^ 2 — 4ac ^ 3 — 4b ^ 3d — 27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd

Это выражение представляет собой полином от коэффициентов a, b, c и d. Его можно использовать для определения количества и характера решений кубического уравнения.

Если дискриминант положителен, уравнение имеет три различных действительных решения,
Если дискриминант равен нулю, кубическое уравнение имеет одно повторяющееся действительное решение и еще одно отличающееся действительное решение;
Если дискриминант отрицателен, уравнение имеет одно действительное решение и два комплексно-сопряженных решения.

Многочлен четвертой степени — это уравнение вида ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, где a, b, c, d и e — коэффициенты. Дискриминант полинома четвертой степени – это величина, которая вычисляется из коэффициентов уравнения и дает информацию о характере решений уравнения.

Дискриминант полинома четвертой степени определяется выражением:

D = 256a^3e^3 + 192a^2bde^2 — 128a^2c^2e^2 — 144a^2cd^2e + 27a^2d^4 + 144ab^2ce^2 — 6ab^2d^3 — 80abc^2de + 18abcd^3 + 16ac^4e — 4ac^3d^2 — 27b^4e^2 + 18b^3cde — 4b^3d^3 — 4b^2c^3e + b^2c^2d^2

Это выражение представляет собой полином от коэффициентов a, b, c, d и e. С его помощью можно определить количество и характер решений многочлена четвертой степени.

Если дискриминант положителен, уравнение имеет четыре различных действительных решения; если дискриминант равен нулю, уравнение имеет два повторяющихся действительных решения или одно повторяющееся действительное решение и одно другое действительное решение; если дискриминант отрицателен, уравнение имеет либо четыре комплексных решения, либо два действительных и два комплексно-сопряженных решения.

Дискриминант — определение, свойства, геометрический смысл