Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.
Так, числовая последовательность а1; а2; а3; а4; а5; … аn будет являться арифметической прогрессией, если а2 = а1 + d;
а3 = а2 + d;
a4 = a3 + d;
a5 = a4 + d;
………….
an = an-1 + d
Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая прогрессия {an}.
Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.
Примеры арифметической прогрессии
Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а1 = 1; d = 2.
Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а1 = 8; d =-3.
Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а1 = -16; d = 4.
Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.
В 1 примере второй член 3 =(1+5):2 ; т.е. а2 = (а1+а3):2; третий член 5 =(3+7):2;
т. е. а3 = (а2+а4):2.
Значит, справедлива формула:
Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.
Обратимся примеру 2. Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).
По формуле (**) имеем:
Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.
Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.
Вы уже догадались: а2 = а1 + d;
a3 = a2 + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = a1 + 3d;
…………………….
an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.
Полученную формулу an = a1 + (n-1)d (***)
называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.
От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an и
Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + …...+ a4 + a3 + a2 + a1
Сложим почленно эти два равенства:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …
Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).
Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
(****)
Если заменим аn значением а1 + (n-1) d по формуле (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.
(*****)
