Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы $A$ на число $k$ называется такая матрица $kA$ , каждый элемент которой равен $ka_{ij}$ , то есть, если

$A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$ ,

то

$kA = \begin{pmatrix} ka_{11}& ka_{12} & ka_{13} & ... & ka_{1n}\\ ka_{21}& ka_{22} & ka_{23} & ... & ka_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ ka_{m1}& ka_{m2} & ka_{m3} & ... & ka_{mn} \end{pmatrix}$ .

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу $A= \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 7& -3 \end{pmatrix}$ на число $k=2$ .

Решение: Чтобы умножить матрицу $A$ на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

$2A= \begin{pmatrix} 2\cdot 2 & 2 \cdot 5\\ 2 \cdot 7& 2 \cdot (-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & 10\\ 14& -6 \end{pmatrix}$ .

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу $A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 7& -3 & 5 \\ 8 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на $k=-1$ .

$-A= \begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ -7& 3 & -5 \\ -8 & -6 & 0 \end{pmatrix}$ .

Пример 3

Даны матрицы $A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 8& -2 & 8 \\ 9 & 2 & -3 \end{pmatrix}$ и $B= \begin{pmatrix} -1 & 3 & -7 \\ 9 & 2 & 6 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$ . Вычислите $2A-B$ .

Решение:

$2A-B= \begin{pmatrix} 2 & 8 & -6 \\ 16& -4 & 16 \\ 18 & 4 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 3 & -7 \\ 9 & 2 & 6 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 7 & -6 & 10 \\ 14 &6 & -9 \end{pmatrix}$ .

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы $A$ и $B$ .

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ , $B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21}& b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

$C= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\ a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21}& c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}$ .

Таким образом, получаем:

$c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}$ ,

$c_{12}= a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}$ ,

$c_{13}= a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}$ ,

$c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}$ ,

$c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}$ ,

$c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}$ ,

$c_{31}=a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}$ ,

$c_{32}=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}$ ,

$c_{33}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}$ .

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент $c_{ij}$ надо все элементы $i$ -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы $j$ -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 7& -3 \end{pmatrix}$ и $B= \begin{pmatrix} -3 & 4\\ 8& 5 \end{pmatrix}$ .

Решение:

Находим произведение матриц $AB= \begin{pmatrix} 2 \cdot (-3)+5 \cdot 8 & 2 \cdot 4+5 \cdot 5\\ 7 \cdot (-3)+(-3) \cdot 8& (-3) \cdot 4+ (-3) \cdot 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 34 & 33\\ -45 & -27 \end{pmatrix}$ .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2& 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$ , $B= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Решение:

$\displaystyle AB= \begin{pmatrix} 0 \cdot 3+(-1) \cdot 2+2 \cdot 1 &0 \cdot 1+(-1) \cdot 1+2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3+1 \cdot 2+ 1 \cdot 1& 2 \cdot 1+1 \cdot 1+1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 3+ 0 \cdot 2+ 1 \cdot 1& 3 \cdot 1+0 \cdot 1+1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 3+7 \cdot 2+1 \cdot 1& 3 \cdot 1+7 \cdot 1+1 \cdot 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 9 & 3 \\ 10 & 3 \\24 & 10 \end{pmatrix}$ .

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц $A= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1& 3 \end{pmatrix}$ и $B= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}$ . Найдем произведение $AB$ и произведение $BA$ , а затем сравним эти произведения.

$AB=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \cdot 3+(-1) \cdot 1 & 2 \cdot 1+(-1) \cdot (-1)\\ 1 \cdot 3+3 \cdot 1& 1 \cdot 1+3 \cdot (-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 &3\\ 6& -2 \end{pmatrix}$ ;

$BA=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1& 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \cdot 2+1 \cdot 1 & 3 \cdot (-1)+1 \cdot 3\\ 1 \cdot 2+(-1) \cdot 1& 1 \cdot (-1)+(-1) \cdot 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 &0\\ 1& -4 \end{pmatrix}$ .

Очевидно, что $AB \neq BA$ . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

$A(BC)=(AB)C$ — сочетательный закон умножения,

$(A+B)C=AC+BC$ — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы $A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 1 \end{pmatrix}$ и $B= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1& 1 \end{pmatrix}$ . Найдем произведение этих матриц:

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \cdot 1+1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-1)+1 \cdot 1\\ 1 \cdot 1+1 \cdot (-1)& 1 \cdot (-1)+1 \cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 &0\\ 0& 0 \end{pmatrix}$

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы: