Вычислить квадратный корень из 4^2+4^2

Вычислить квадратный корень из $\sqrt{4^2+4^2}$.

Решим задачу последовательно:

1. Возведем 4 в степень 2:

$4^2=16$

2. Возведем вторую 4 в степень 2:

$4^2=16$

3. Под корнем получится:

$\sqrt{16+16}$

4. Вынесем число 16 за скобки под корнем:

$\sqrt{16 (1+1)}= \sqrt{16 \cdot 2}$

5. Используем свойство квадратного корня:

$\sqrt{16 (1+1)}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Вычислим приближенное значение.

6. Найдем $\sqrt{2}$

Для того, чтобы приближенно вычислить корень квадратный из какого-либо числа, нужно подобрать такое число, которое при умножении само на себя даст нам необходимое число, стоящее под знаком корня.
Чтобы получить 2, попробуем умножить 1,4 на 1,4.

Получаем:

$1,4 \cdot 1,4 = 1,96$

Не совсем 2, тогда увеличим данное число, и будем умножать 1,41 на 1,41.

$1,41 \cdot 1,41 = 1,9881$

Еще увеличим: 1,42 на 1,42:

$1,42 \cdot 1,42 = 2,02$

Теперь число больше, немного сделаем поменьше: 1,415

$1,415 \cdot 1,415 = 2,002225$

Вот таким методом постепенного подбора числа, можно вычислить корень с любой точностью.

$\sqrt{4^2+4^2}=4 \sqrt{2} \approx 4 \cdot 1,415 \approx 5,66$

Совет: если вы встречаете под корнем сумму квадратов, то будет ошибкой делать вот так (мы зачеркнули неправильное вычисление, так как нам нужен правильный ответ):

$\xcancel{\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=a+b}$

Это распространенное заблуждение.

Если вам попался такой пример, это означает, что вы можете либо вычислить приближенное значение, или можно вынести общий множитель за скобки, как мы только что сделали. И попытаться либо упростить корень, либо вычислить точно (если хорошие числа), либо приближенно.

Ответ: $\sqrt{4^2+4^2}=4 \sqrt{2}$
$\sqrt{4^2+4^2}\approx 5,66$