Вычислите.
1) 2^2-1^2+3^2-2^2+4^2-3^2+...+10^2-9^2
2) 12^2-11^2+13^2-12^2+14^2-13^2+...+20^2-19^2
3) 22^2-21^2+20^2-19^2+18^2-17^2+...+10^2-9^2
4) 31^2-29^2+27^2-25^2+23^2-21^2+...+11^2-9^2
Вычисление:
1) В первом примере обратим внимание что мы можем сократить повторяющиеся согласные с разными знаками:
2^2-1^2+3^2-2^2+4^2-3^2+ ... + 10^2-9^2=2^2-1^2+3^2-2^2+4^2-3^2+5^2-4^2+6^2-5^2+7^2-6^2+8^2-7^2+9^2-8^2+10^2-9^2=\\=\bcancel{2^2}-1^2+\bcancel{3^2}-\bcancel{2^2}+\bcancel{4^2}-\bcancel{3^2}+\bcancel{5^2}-\bcancel{4^2}+\bcancel{6^2}-\bcancel{5^2}+\bcancel{7^2}-\bcancel{6^2}+\bcancel{8^2}-\bcancel{7^2}+\bcancel{9^2}-\bcancel{8^2}+ 10^2-\bcancel{9^2}=-1^2+10^2=100-1=99
2) 12^2-11^2+13^2-12^2+14^2-13^2+...+20^2-19^2= 12^2-11^2+13^2-12^2+14^2-13^2+15^2-14^2+16^2-15^2+17^2-16^2+18^2-17^2+19^2-18^2+20^2-19^2=// = \bcancel{12^2}-11^2+\bcancel{13^2}-\bcancel{12^2}+\bcancel{14^2}-\bcancel{13^2}+\bcancel{15^2}-\bcancel{14^2}+\bcancel{16^2}-\bcancel{15^2}+\bcancel{17^2}-\bcancel{16^2}+\bcancel{18^2}-\bcancel{17^2}+\bcancel{19^2}-\bcancel{18^2}+20^2-\bcancel{19^2}=20^2-11^2=400-121=279
3) 22^2-21^2+20^2-19^2+18^2-17^2+...+10^2-9^2=22^2-21^2+20^2-19^2+18^2-17^2+16^2-15^2+14^2-13^2+12^2-11^2+10^2-9^2
Перепишем выражение в виде:
(22^2-21^2)+(20^2-19^2)+(18^2-17^2)+(16^2-15^2)+(14^2-13^2)+(12^2-11^2)+(10^2-9^2)
Выражение в каждой скобке — это разность квадратов (формулы сокращенного умножения) распишем её:
(22-21)(22+21)+(20-19)(20+19)+(18-17)(18+17)+(16-15)(16+15)+(14-13)(14+13)+(12-11)(12+11)+(10-9)(10+9)=22+21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9
Это арифметическая прогрессия, первый член ее равен 22, последний 9, а разность равна -1, всего членов 14.
По формуле арифметической прогрессии находим ее сумму:
\displaystyle S=\frac{(a_1+a_n) n}{2}=\frac{14 \cdot (22+9)}{2}=31 \cdot 7= 217
4) 31^2-29^2+27^2-25^2+23^2-21^2+...+11^2-9^2
Действуя аналогично предыдущему примеру,
(31-29)(31+29)+(27-25)(27+25)+(23-21)(23+21)+(19-17)(19+17)+(15-13)(15+13)+(11-9)(11+9)=2 \cdot (31+29)+2 \cdot (27+25)+2 \cdot (23+21)+2\cdot (19+17)+2 \cdot (15+13)+ 2 \cdot (11+9)=\\=2 \cdot (31+29+27+25+23+21+19+17+15+13+11+9)
В скобках получим арифметическую прогрессию 2 \cdot (31+29+27+25+23+21+19+17+15+13+11+9), состоящую из 12 членов.
Сумма этой прогрессии: \displaystyle S=\frac{(a_1+a_n) n}{2}=\frac{12 \cdot (31+9)}{2}=40 \cdot 6= 240
И результат будет: 2 \cdot 240=480
Ответ: 99, 279, 217, 480.
