11.1.9.1. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

    Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т.д.

    Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

    Сравните:

     a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

    Сравниваем далее:

    Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным переносом (11.1.9).

    Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

    Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

    Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

    Пример 1.

     

    Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л).

    Пример 2.

    Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

    Полученный результат

    выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1)4, осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

    График функции y=(x+1)4 - парабола, ветви которой направлены вверх,

    а вершина находится в точке О′(-1; 0).

    Площадь этой криволинейной трапеции: