Продолжаем интегрировать тригонометрические функции по простейшим формулам 6) — 9) таблицы интегралов (лист "Интегралы") Но вот незадача — у нас всего 4 формулы, и нужная формула не всегда сразу «видна»! Как же следует поступать в таких случаях? Нужно постараться упростить подынтегральное выражение, используя подходящие тригонометрические тождества.
Содержание
Пример 1
∫(cos²x-sin²x) dx. Такой формулы интегрирования у нас нет, но мы можем упростить подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу для косинуса двойного аргумента: cos2α=cos²α-sin²α.
Решение.
∫(cos²x-sin²x) dx=∫cos2xdx=½∫cos2xd (2x)=1/2sin2x+C.
При решении мы применяем метод подведения под знак дифференциала (смотрите предыдущие занятия). Так как мы подвели под знак дифференциала 2х и получили выражение под знаком интеграла в 2 раза больше: d (2x)=2dx, то перед знаком интеграла ставим множитель ½. Сделаем проверку.
(F (x)+C)'=(1/2sin2x+C)'=½·cos2x·2=cos2x=cos²x-sin²x=f (x).
Пример 2
∫(cos²4x-sin²4x) dx (аналогичный).
Решение.
∫(cos²4x-sin²4x) dx=∫cos8xdx=1/8∫cos8xd (8x)=1/8sin8x+C.
Пример 3
∫(cos²x/2-sin²x/2) dx.
Решение.
∫(cos²x/2-sin²x/2) dx=∫сosxdx=sinx+C.
В примерах 2 и 3 мы так же, как и в примере 1, упрощали подынтегральное выражение по формуле для косинуса двойного аргумента,
а затем применяли формулу 6): ∫cosudu=sinu+C (лист Интегралы).
Пример 4
. ∫(sin²x+cos²x) dx.
Решение.
Применяем основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. (*)
∫(sin²x+cos²x) dx=∫1·dx=∫dx=x+C.
Пример 5
∫2sinxcosxdx.
Решение.
Используем формулу синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα (**) и упростим подынтегральное выражение.
∫2sinxcosxdx=∫sin2xdx=½∫sin2xd (2x)=-1/2cos2x+C.
Пример 6
∫sin3xcos3xdx. Решаем аналогично примеру 5.
Решение.
∫sin3xcos3xdx=∫1/2sin6xdx=½∫sin6xdx=(½)·(1/6)∫sin6xd (6x)=- (1/12) cos6x+C.
В примерах 5 и 6 мы использовали формулу 7): ∫sinudu=-cosu+C (лист Интегралы), причем, интегрировали путем подведения под знак дифференциала.
Пример 7
∫(sinx+cosx)²dx.
Решение.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы двух выражений: (a+b)²=a²+2ab+b².
∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx. Теперь в подынтегральном выражении можно увидеть сразу 2 тригонометрические формулы (*) и (**).
∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx=∫(1+sin2x) dx=
=∫dx+∫sin2xdx=∫dx+½∫sin2xd (2x)=x-1/2cos2x+C.
Пример 8
∫2sin²xdx.
Решение.
Применим тригонометрическую формулу понижения степени для квадрата синуса данного аргумента: 2sin²α=1-cos2α.
∫2sin²xdx=∫(1-cos2x) dx=∫dx-∫cos2xdx=∫dx-½∫cos2xd (2x)=x-1/2sin2x+C.
Пример 9
∫2cos²xdx.
Решение.
Применяем формулу понижения степени для квадрата косинуса аргумента: 2cos²α=1+cos2α. Тогда:
∫2cos²xdx=∫(1+cos2x) dx=∫dx+∫cos2xdx=∫dx+½∫cos2xd (2x)=x+1/2sin2x+C.
Пример 10
Пример аналогичен примеру 8.
∫2sin²5xdx.
Решение.
∫2sin²5xdx=∫(1-cos10x) dx=∫dx- (1/10)∫cos10xd (10x)=x- (1/10) sin10x+C.
Пример 11
Пример аналогичен примеру 9.
∫2cos²(x/2) dx.
Решение.
∫2cos²(x/2) dx=∫(1+cosx) dx=∫dx+∫cosxdx=x+sinx+C.
Пример 12
∫8sinxcosxcos2xcos4xdx.
Решение.
Преобразуем подынтегральное выражение по формуле (**) — синуса двойного аргумента:
8sinxcosxcos2xcos4x=2·2·2·sinx·cosx·cos2x·cos4x=
=2sinxcosx·2·2·cos2x·cos4x=sin2x·2·2·cos2x·cos4x=
=2sin2xcos2x·2·cos4x=sin4x·2cos4x=sin8x.
Итак, ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx=∫sin8xdx=1/8∫sin8xd (8x)=- (1/8) cos8x+C.
