11.1.7. Интегрирование тригонометрических функций-2

    Продолжаем интегрировать тригонометрические функции по простейшим формулам 6) — 9) таблицы интегралов (лист "Интегралы") Но вот незадача — у нас всего 4 формулы, и нужная формула не всегда сразу «видна»! Как же следует поступать в таких случаях? Нужно постараться упростить подынтегральное выражение, используя подходящие тригонометрические тождества.

    Пример 1. ∫(cos²x-sin²x) dx. Такой формулы интегрирования у нас нет, но мы можем упростить подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу для косинуса двойного аргумента: cos2α=cos²α-sin²α.

    Решение.

    ∫(cos²x-sin²x) dx=∫cos2xdx=½∫cos2xd (2x)=1/2sin2x+C.

    При решении мы применяем метод подведения под знак дифференциала (смотрите предыдущие занятия). Так как мы подвели под знак дифференциала и получили выражение под знаком интеграла в 2 раза больше: d (2x)=2dx, то перед знаком интеграла ставим множитель ½. Сделаем проверку.

    (F (x)+C)'=(1/2sin2x+C)'=½·cos2x·2=cos2x=cos²x-sin²x=f (x).

    Пример 2. ∫(cos²4x-sin²4x) dx (аналогичный).

    Решение.

    ∫(cos²4x-sin²4x) dx=∫cos8xdx=1/8∫cos8xd (8x)=1/8sin8x+C.

    Пример 3. ∫(cos²x/2-sin²x/2) dx.

    Решение.

    ∫(cos²x/2-sin²x/2) dx=∫сosxdx=sinx+C.

    В примерах 2 и 3 мы так же, как и в примере 1, упрощали подынтегральное выражение по формуле для косинуса двойного аргумента,

    а затем применяли формулу 6)∫cosudu=sinu+C (лист Интегралы).

    Пример 4. ∫(sin²x+cos²x) dx.

    Решение.

    Применяем основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. (*)

    ∫(sin²x+cos²x) dx=∫1·dx=∫dx=x+C.

    Пример 5. ∫2sinxcosxdx.

    Решение.

    Используем формулу синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα (**) и упростим подынтегральное выражение.

    ∫2sinxcosxdx=∫sin2xdx=½∫sin2xd (2x)=-1/2cos2x+C.

    Пример 6. ∫sin3xcos3xdx. Решаем аналогично примеру 5.

    Решение.

    ∫sin3xcos3xdx=∫1/2sin6xdx=½∫sin6xdx=(½)·(1/6)∫sin6xd (6x)=- (1/12) cos6x+C.

    В примерах 5 и 6 мы использовали формулу 7)∫sinudu=-cosu+C (лист Интегралы), причем, интегрировали путем подведения под знак дифференциала.

    Пример 7. ∫(sinx+cosx)²dx.

    Решение.

    Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы двух выражений: (a+b)²=a²+2ab+b².

    ∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx. Теперь в подынтегральном выражении можно увидеть сразу 2 тригонометрические формулы (*) и  (**). 

    ∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx=∫(1+sin2x) dx=

    =∫dx+∫sin2xdx=∫dx+½∫sin2xd (2x)=x-1/2cos2x+C.

    Пример 8. ∫2sin²xdx.

    Решение.

    Применим тригонометрическую формулу понижения степени для квадрата синуса данного аргумента: 2sin²α=1-cos2α.

    ∫2sin²xdx=∫(1-cos2x) dx=∫dx-∫cos2xdx=∫dx-½∫cos2xd (2x)=x-1/2sin2x+C.

    Пример 9. ∫2cos²xdx.

    Решение.

    Применяем формулу понижения степени для квадрата косинуса аргумента: 2cos²α=1+cos2α. Тогда:

    ∫2cos²xdx=∫(1+cos2x) dx=∫dx+∫cos2xdx=∫dx+½∫cos2xd (2x)=x+1/2sin2x+C.

    Пример 10 (аналогичный примеру 8). ∫2sin²5xdx.

    Решение.

    ∫2sin²5xdx=∫(1-cos10x) dx=∫dx- (1/10)∫cos10xd (10x)=x- (1/10) sin10x+C.

    Пример 11 (аналогичный примеру 9). ∫2cos²(x/2) dx.

    Решение.

    ∫2cos²(x/2) dx=∫(1+cosx) dx=∫dx+∫cosxdx=x+sinx+C.

    Пример 12. ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx.

    Решение.

    Преобразуем подынтегральное выражение по формуле (**) — синуса двойного аргумента:

    8sinxcosxcos2xcos4x=2·2·2·sinx·cosx·cos2x·cos4x=

    =2sinxcosx·2·2·cos2x·cos4x=sin2x·2·2·cos2x·cos4x=

    =2sin2xcos2x·2·cos4x=sin4x·2cos4x=sin8x.

    Итак, ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx=∫sin8xdx=1/8∫sin8xd (8x)=- (1/8) cos8x+C.