11.1.9. Нахождение первообразной по начальным условиям

    Вспомним определения:

    1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:

    F′(x)=f (x).

    2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

    Как можно представить себе неопределенный интеграл

    где F (x) - первообразная функции f (x), а С - некоторая постоянная величина?

    Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С - семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

    Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).

    Решение.

    F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.

    Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:

    2=3-3²+С;

    2=3-9+С;

    2=-6+С → С=8.

    Тогда F (x)=x-x²+8.

    Пример 2. Найти ∫(sinx-cosx) dx, если при π/2 первообразная равна 6.

    Решение.

    ∫(sinx-cosx) dx=∫sinxdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+C.

    По условию F (π/2)=6. Получаем равенство: -cos (π/2) -sin (π/2)+C=6;

    0-1+C=6 → C=6+1; C=7.

    Искомая функция F (x)=-cosx-sinx+7.

    Пример 3. Найти первообразную для функции

    принимает значение, равное нулю.

    Решение.