11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график



    style="display:block"
    data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
    data-ad-slot="8834522701"
    data-ad-format="auto">

    • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
    • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
    • Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.
    • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
    • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

    Справедливы все свойства степенной функции:

    • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
    •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
    •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
    •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
    • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
    •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
    • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
    •   а=1/ax
    •  (a/b)-x=(b/a)x.

    Примеры.

    1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

    при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

    x=0, y=20=1;                   Точка А.

    x=1, y=21=2;                   Точка В.

    x=2, y=22=4;                   Точка С.

    x=3, y=23=8;                   Точка D.              

    x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

    x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

    x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

    Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

    2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

    при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

    x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

    x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

    x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

    x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

    x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

    x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

    x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

     

    Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

    3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

    y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

    График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

    Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

    Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

     

    4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

    y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

    Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

    Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

    Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

    Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

    Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

    Решить графически уравнения:

    1) 3x=4-x.

    В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

     

    Графики пересеклись в точке А(1; 3).

     

    Ответ: 1.

     

     

     

     

    2) 0,5х=х+3.

     

    В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

    (y=(1/2)x )

     и у=х+3.

    Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

    Ответ: -1.

     

     

    Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

    Решение.

     1) y=-2

    Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

    0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

    — ∞<-2x<0.

    Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

     2) y=(1/3)x+1;

    0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

    0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

    1<(1/3)x+1<+∞.

    Ответ: Е(у)=(1; +∞).

     3) y=3x+1-5.

    Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

    0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

    0∙3<3x3<(+∞)∙3;

    0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

    0-5<3x∙3-5<+∞-5;

    — 5<3x∙3-5<+∞.

    Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

    Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!