11.3.2. Решение простейших показательных уравнений

    Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.

    Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.

    Примеры.

    Решить уравнение:

    1) 5x=125.  Представим число 125 в виде степени числа 5:

    5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

    x=3.

    2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

    (22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy  

    22x=25;

    2x=5  |:2

    x=2,5.

     3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

    32x-1=34;  приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

    2x-1=4;  решаем простейшее линейное уравнение:

    2x=4+1;

    2x=5  |:2;

    x=2,5.

     

    К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

    Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

     

     

     

     

     

    Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.

    Переносим степень из правой части уравнения в левую.

    Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.

     

    6) 7∙5x-5x+1=2∙53.

    Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:

    7∙5x-5x∙51=2∙53;

    5x(7-5)=2∙53;  вынесли общий множитель за скобки.

    5x∙2=2∙53     |:2

    5x=53;  отсюда следует:

    x=3.

    7) 3x+2+4∙3x+1=21.  Применим формулу: ax+y=ax∙ay  (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):

    3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:

    3x(9+12)=21;

    3x∙21=21  |:21

    3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.

    3x=30;

    x=0.

    51+2x+52x+3=650.  Решаем аналогично.

    51∙52x+52x∙53=650;

    52x(5+125)=650;

    52x∙130=650   |:130

    52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.

    2x=1  |:2

    x=0,5.