11.3.3. Решение простейших показательных неравенств

    Простейшими считаются показательные неравенства вида: ax<ay, ax>a.  (ax≤ay, ax≥ay).

    Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0<a<1), то знак нового неравенства меняют на противоположный:

    ax<ay → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;

    ax<ay → x>y,  если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся;

    ax>ay → x>y, если  a>1; знак сохранен, так как функция возрастает

    ax>ay → x<y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся.

    Примеры.

    Решить неравенство:

    1) 45-2x<0,25.

    Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;

    45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

    5-2x<-1;

    — 2x<-1-5;

    — 2x<-6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:

    x>3.

    Ответ: (3; +∞).

    2) 0,42х+1≥0,16.

    Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

    0,42х+10,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

    2х+12;

    2х≤2-1;

    2х≤1  |:2

    x≤0,5.

    Ответ: (-∞; 0,5].

    3) 23-x+21-x>40.  Применим формулу: ax+y=ax∙ay.  Запишем неравенство в виде:

    23∙2-x+21∙2-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:

    2-x∙(23+21)>40;   упрощаем левую часть:

    2-x∙(8+2)>40;

    2-x∙10>40   |:10

    2-x>4;

    2-x>22;  основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:

    — x>2  |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный:

    x<-2.

    Ответ: (-∞; -2).

    4) 3x+2+3x+1+3x≤39. Применяем формулу:  ax∙ay=ax+y

    3x∙32+3x∙31+3x≤39; вынесем общий множитель за скобки:

    3x∙(32+31+1)≤39; упрощаем левую часть неравенства:

    3x∙(9+3+1)≤39;

    3x∙13≤39  |:13

    3x≤3;

    3x≤31; Показательная функция с основанием 3 (3>1) является возрастающей, поэтому, знак неравенства сохраним:

    x≤1.

    Ответ: (-∞; 1].