Простейшими считаются показательные неравенства вида: ax<ay, ax>ay . (ax≤ay, ax≥ay).
Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0<a<1), то знак нового неравенства меняют на противоположный:
ax<ay → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;
ax<ay → x>y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся;
ax>ay → x>y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает
ax>ay → x<y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся.
Примеры.
Решить неравенство:
1) 45-2x<0,25.
Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;
45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:
5-2x<-1;
— 2x<-1-5;
— 2x<-6 |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:
x>3.
Ответ: (3; +∞).
2) 0,42х+1≥0,16.
Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:
0,42х+1≥0,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:
2х+1≤2;
2х≤2-1;
2х≤1 |:2
x≤0,5.
Ответ: (-∞; 0,5].
3) 23-x+21-x>40. Применим формулу: ax+y=ax∙ay. Запишем неравенство в виде:
23∙2-x+21∙2-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:
2-x∙(23+21)>40; упрощаем левую часть:
2-x∙(8+2)>40;
2-x∙10>40 |:10
2-x>4;
2-x>22; основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:
— x>2 |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный:
x<-2.
Ответ: (-∞; -2).
4) 3x+2+3x+1+3x≤39. Применяем формулу: ax∙ay=ax+y
3x∙32+3x∙31+3x≤39; вынесем общий множитель за скобки:
3x∙(32+31+1)≤39; упрощаем левую часть неравенства:
3x∙(9+3+1)≤39;
3x∙13≤39 |:13
3x≤3;
3x≤31; Показательная функция с основанием 3 (3>1) является возрастающей, поэтому, знак неравенства сохраним:
x≤1.
Ответ: (-∞; 1].