11.3.4. Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям

    Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax2+bx+c=0.

    Примеры.

    Решить уравнение:

    1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.

    (22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

    (2x)2+2∙2x-3=0;

    вводим новую переменную: пусть 2x=y;

    y2+2y-3=0.

    Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

    y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.

    Возвращаемся к переменной х:

    1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

    2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

    2x=20;

    x=0.

    Ответ: 0.

    2) 0,252x-5∙0,52x+4=0.  Решаем аналогично. Представляем 0,252xв виде степени с основанием 0,5.

    (0,52)2x-5∙0,52x+4=0;

    (0,52x)2-5∙0,52x+4=0.

    0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

    y2-5y+4=0;

    Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

    y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:

    1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

    0,52x=0,50;

    2x=0;

    x=0.

    2) 0,52x=4; приведем степень  0,52 к основанию 2, применив формулу:   (1/a)=а-х 

    (1/2)2x=22;

    2-2x=22; приравниваем показатели:

    — 2x=2 |:(-2)

    x=-1.

    Ответ: -1; 0.

    Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а=1/ax  и  ax∙ay=ax+y .

    Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

    Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета:  сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.