11.3.5. Решение показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам

При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам, поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.

Рассмотрим несколько примеров.

Решить неравенство:

Пример 1

1) (0,5)^2x+2 < 3∙(0,5)^x.

Сделаем замену: пусть (0,5)^х=у. Получаем неравенство:

у²+2 < 3y или y²-3y+2 < 0.

Разложим квадратный трехчлен y²-3y+2 на линейные множители по формуле:

ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Находим корни приведенного квадратного уравнения y²-3y+2=0. Дискриминант D=b²-4ac=3²-4∙1∙2=9-8=1=1². Так как дискриминант является полным квадратом, то применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

у₁+у₂=3, у₁∙у₂=2. Отсюда: у₁=1, у₂=2. Значит, y²-3y+2=(у-1)(у-2).

Решаем неравенство: (у-1)(у-2) < 0 методом интервалов.

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)^хє(1; 2).

(0,5)^х=1 → (0,5)^х=(0,5)⁰ → х=0.

(0,5)^х=2 → (¹/₂)^x=2 → 2^{— x}=2¹ → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

Пример 2

2) 9^x-1 < 3^x-1+6.

Представим 9^х-1 в виде степени числа 3.

3^{2 (x-1)} < 3^x-1+6. Сделаем замену: 3^х-1=у. Тогда получается квадратное неравенство: у² < y+6. Переносим слагаемые в левую часть.

у²-у-6 < 0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у²-у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни  являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b²-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=5². Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у₁+у₂=1, у₁∙у₂=-6. Подходят значения: у₁=-2 и у₂=3.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:

(у+2)(у-3) < 0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.

ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:

3^х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3^х-1 принимать не может, то запишем: 3^х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.

3^х-1→0 при х-1 → -∞, так как число 3  в степени, стремящейся к минус бесконечности, фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.

Далее, 3^х-1=3 → 3^х-1=3¹ → х-1=1 → х=2.

Получили хє(-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).