11.3.6. Решение систем показательных уравнений

    Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений. 

    Примеры.

    Решить системы уравнений: 

     

    Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

     

    Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

    2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=axay.

    2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки:

    2х(1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

    2х=21, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

    Ответ: (1; 2).

     Решение.

    Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.

    Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.

    Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

    Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

     

     

    Находим у.

     

    Ответ: (2; 1,5).

    Решение.

    Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

    Решаем (2) -ое уравнение системы.

    v (v+63)=64;

    v2+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.

    Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.

     

    Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4x=-1 и 4y=-64 решений не имеют.

    Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.

    Приравниваем показатели степеней и находим х и у.

     

    Ответ: (3; 0).

    Ответ: (2; 1).