11.4.4. Натуральный логарифм

Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

ln7=log_e7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.

Примеры вычисления и упрощения

Вычислить, используя определение логарифма.

1) lne².  По определению натуральный логарифм числа e² — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2.

 lne²=2.

2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число -1, так как е^-1=1/е.

ln (1/e)=-1.

3) lne³+lne⁴=3+4=7.

4) lne-ln (1/e²)=1- (-2)=1+2=3.

Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: 

и формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m .

1)    e^ln24=24.

2)    e^2ln11=(e^ln11)²=11²=121.

3)    e^-ln20=(e^ln20)^-1=20^-1=1/20=0,05.

4)    (e⁴)^ln5=(e^ln5)⁴=5⁴=625.

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m ;

формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ.

1)    e^ln4+2=e^ln4∙e²=4∙e²=4e².

2)    e^1+ln3=e¹∙e^ln3=e∙3=3e.

3)    (e^4+ln5)²=(e⁴∙e^ln5)²=(e⁴∙5)²=e^4∙2∙5²=e⁸∙25=25e⁸.

4)    (e^ln2+3)⁴=(e^ln2∙e³)⁴=(2∙e³)⁴=2⁴∙e^3∙4=16e¹².

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

 формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m ; 

формулу частного степеней с одинаковыми основаниями:  a^m:aⁿ=a^m-n  и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ.

1)    e^2-ln3=e²:e^ln3=e²:3=e²/3.

2)    e^1-ln5=e¹:e^ln5=e:5=e/5=0,2e.

3)    (e^5-ln10)³=(e⁵:e^ln10)³=(e⁵:10)³=(0,1e⁵)³=0,1³∙e^5∙3=0,001e¹⁵_.

4)    (e^3-ln2)⁴=(e³:e^ln2)⁴=(e³:2)⁴=(0,5e³)⁴=(0,5)⁴∙(e³)⁴=0,0625e¹².