11.4.6. Логарифм основания

Логарифм основания.

log_aa=1         Логарифм числа а по основанию а равен единице (a > 0, a≠1).

Примеры:

1) log₅5=1,                                   2) lg10=1,                                3) lne=1,

так как 5¹=5.                                 так как 10¹=10.                       так как е¹=е.

Вычислить:

2) 10^3-lne=10^3-1=10²=100.

3) 17^2-lg10=17^2-1=17¹=17.

Решим два уравнения.

Уравнение 1

1) log₃(x²-4x-2)=log₆6.

log₃(x²-4x-2)=1;

x²-4x-2=3¹ — по определению логарифма;

x²-4x-2-3=0;

x²-4x-5=0 – приведенное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом. Дискриминант D₁=(b/2)²-ac.

D₁=2²-1∙(-5)=4+5=9=3² – полный квадрат.

По теореме Виета: х₁+х₂=4 и х₁∙х₂=-5.

Корни квадратного уравнения: х₁=-1, х₂=5. Подставим найденные значения поочередно в данное уравнение — получаем верные равенства.

Ответ: -1; 5.

Уравнение 2

2) log₃(2^x-13) -lne=0.

log₃(2^x-13) -1=0;

log₃(2^x-13)=1;

2^x-13=3¹ – по определению логарифма;

2^x=3+13;

2^x=16;

2^x=2⁴;

x=4.

Проверку выполняем устно, получаем верное равенство 0=0.

Ответ: 4.