Логарифм произведения.
loga(x∙y)=logax+logay
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.
Используя формулу логарифма произведения, найти:
1) log36, если log32=a.
log36=log3(2∙3)=log32+log33=log32+1=a+1.
2) log2515, если log53=c. Ответ записать в виде многочлена.
log2515=(log5(3∙5))2=(log53+log55)2=(c+1)2=c2+2c+1.
3) log210-log315, если log25=p, log35=k.
log210-log315=log2(2∙5) -log3(3∙5)=log22+log25- (log33+log35)=1+log25-1-log35=p-k.
Вычислить:
1) 10lg3+lg2+lg4=10lg (3∙2∙4)=10lg24=24.
2) 7lg2+lg5=7lg (2∙5)=7lg10=71=7.
3) 3log210+log23,2=3log2(10∙3,2)=3log232=35=243.
Решим два уравнения.
Уравнение 1
1) lgx+lg (x-1)=lg2.
lg (x∙(x-1))=lg2 – преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения. Потенцируем и получаем равенство:
x (x-1)=2;
x2-x-2=0. Дискриминант D=b2-4ac=12-4∙1∙(-2)=1+8=9=32. Дискриминант является полным квадратом.
По теореме Виета корни приведенного квадратного уравнения x2-x-2=0 найдем из условий: x1+x2=1; x1∙x2=-2. Подбором находим x1=-1, x2=2.
Значение х1=-1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку для х2=2.
lg2+lg (2-1)=lg2;
lg2+lg1=lg2;
lg2=lg2.
Ответ: 2.
Уравнение 2
2) ln (x-1)+ln (x+1)=ln8.
ln ((x-1)(x+1))=ln8;
(x-1)(x+1)=8;
x2-1=8;
x2=9;
x=±3.
Значение х=-3 не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию существования логарифма ln (x-1) и ln (x+1).
Сделаем проверку для х=3.
ln (3-1)+ln (x+1)=ln8;
ln2+ln4=ln8;
ln (2∙4)=ln8;
ln8=ln8.
Ответ: 3.
