11.4.7. Логарифм произведения

    Логарифм произведения.

    loga(x∙y)=logax+logay

    Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

    Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

    Используя формулу логарифма произведения, найти:

    1) log36, если log32=a.

    log36=log3(2∙3)=log32+log33=log32+1=a+1.

    2) log2515, если log53=c. Ответ записать в виде многочлена.

    log2515=(log5(35))2=(log53+log55)2=(c+1)2=c2+2c+1.

    3) log210-log315, если log25=p, log35=k.

    log210-log315=log2(2∙5) -log3(3∙5)=log22+log25- (log33+log35)=1+log25-1-log35=p-k.

    Вычислить:

    1) 10lg3+lg2+lg4=10lg (3∙2∙4)=10lg24=24.

    2) 7lg2+lg5=7lg (2∙5)=7lg10=71=7.

    3) 3log210+log23,2=3log2(10∙3,2)=3log232=35=243.

    Решить уравнение:

    1) lgx+lg (x-1)=lg2.

    lg (x∙(x-1))=lg2 – преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения. Потенцируем и получаем равенство:

    x (x-1)=2;

    x2-x-2=0.  Дискриминант D=b2-4ac=12-4∙1∙(-2)=1+8=9=32. Дискриминант является полным квадратом.

    По теореме Виета корни приведенного квадратного уравнения x2-x-2=0 найдем из условий: x1+x2=1;  x1∙x2=-2. Подбором находим x1=-1, x2=2.

    Значение х1=-1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку для х2=2.

    lg2+lg (2-1)=lg2;

    lg2+lg1=lg2;

    lg2=lg2.

    Ответ: 2.

    2) ln (x-1)+ln (x+1)=ln8.

    ln ((x-1)(x+1))=ln8;

    (x-1)(x+1)=8;

    x2-1=8;

    x2=9;

    x=±3.

    Значение х=-3 не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию существования логарифма ln (x-1) и ln (x+1).

    Сделаем проверку для х=3.

    ln (3-1)+ln (x+1)=ln8;

    ln2+ln4=ln8;

    ln (2∙4)=ln8;

    ln8=ln8.

    Ответ: 3.