11.4.8. Логарифм частного

    Логарифм частного.

    loga(x/y)=logaxlogay

    Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

    Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

    Вычислить:

    1) log324-log38=log3(24:8)=log33=1;

    2) log5600-log512-log550=log5(600:12:50)=log51=0;

    3) lg800-lg25-lg3,2=lg (800:25:3,2)=lg10=1.

    Найти: 

    1) log252,5, если log2510=a.

    log252,5=log25(25:10)=log2525-log2510=1-a;

    2) lg0,73, если lg7,3=b.

    lg0,73=lg (7,3:10)=lg7,3-lg10=b-1;

    3) ln (e/5), если ln5=c.

    ln (e/5)=lne-ln5=1-c.

    Решить уравнение:

    1) lgx-lg (x+3)=lg2-lg5.

    Левую часть равенства можно записать в виде логарифма частного х и х+3, правую часть можно записать в виде логарифма частного чисел 2 и 5. Затем, потенцируя (убирая значки логарифма), получаем равенство двух дробей.

    А зачем нам дроби, если можно обойтись без них?!

    Решение.

    Преобразуем данное уравнение так, чтобы и слева и справа были суммы логарифмов. Для этого переносим слагаемое lg5 с противоположным знаком из  правой части равенства в левую, а lg (x+3) с противоположным знаком перенесем из левой части в правую:

    lgx+lg5=lg2+lg (x+3). Теперь преобразуем в каждой части равенства сумму логарифмов в логарифм произведения, применив формулу: logax+logay=loga(x•y)

    lg (x∙5)=lg (2∙(x+3)). Потенцируем, получаем:

    x∙5=2∙(x+3);

    5x=2x+6;

    5x-2x=6;

    3x=6  |:3;

    x=2.

    Проверка. lg2+lg5=lg2+lg (2+3);

    lg2+lg5=lg2+lg5.

    Ответ: 2.

    2) lg (x-2) -lg6=lg3-lg (x+5).

    Решение.

    Преобразуем уравнение так, чтобы слева и справа были суммы логарифмов.

    lg (x-2)+lg (x+5)=lg3+lg6. Применим формулу логарифма произведения: logax+logay=loga(x•y)

    lg ((x-2)∙(x+5))=lg (3∙6). Потенцируем и получаем:

    (x-2)∙(x+5)=36;

    x2-2x+5x-10=18;

    x2+3x-28=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙(-28)=9+112=121=112 – полный квадрат. По теореме Виета x1+x2=-3; x1x2=-28. Отсюда подбором находим: x1=-7; x2=4.

    Значение х1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку при x2=4. Подставляем это значение вместо х в исходное уравнение.

    lg (4-2) -lg6=lg3-lg (4+5);

    lg2-lg6=lg3-lg9                            или                lg2+lg9=lg3+lg6

    logaxlogay=loga(x/y)         или            logax+logay=loga(x•y).    

    lg (2/6)=lg (3/9)                            или               lg (2•9)=lg (3•6);

    lg (1/3)=lg (1/3)                            или                lg18=lg18.

    Ответ: 4.