11.4.8. Логарифм частного

Логарифм частного.

log_a(x/y)=log_ax— log_ay

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Вычислить:

1) log₃24-log₃8=log₃(24:8)=log₃3=1;

2) log₅600-log₅12-log₅50=log₅(600:12:50)=log₅1=0;

3) lg800-lg25-lg3,2=lg (800:25:3,2)=lg10=1.

Найти: 

1) log₂₅2,5, если log₂₅10=a.

log₂₅2,5=log₂₅(25:10)=log₂₅25-log₂₅10=1-a;

2) lg0,73, если lg7,3=b.

lg0,73=lg (7,3:10)=lg7,3-lg10=b-1;

3) ln (e/5), если ln5=c.

ln (e/5)=lne-ln5=1-c.

Попробуем решить два уравнения.

Уравнение 1

1) lgx-lg (x+3)=lg2-lg5.

Левую часть равенства можно записать в виде логарифма частного х и х+3, правую часть можно записать в виде логарифма частного чисел 2 и 5. Затем, потенцируя (убирая значки логарифма), получаем равенство двух дробей.

А зачем нам дроби, если можно обойтись без них?!

Решение.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы и слева и справа были суммы логарифмов. Для этого переносим слагаемое lg5 с противоположным знаком из  правой части равенства в левую, а lg (x+3) с противоположным знаком перенесем из левой части в правую:

lgx+lg5=lg2+lg (x+3). Теперь преобразуем в каждой части равенства сумму логарифмов в логарифм произведения, применив формулу: log_ax+log_ay=log_a(x•y)

lg (x∙5)=lg (2∙(x+3)). Потенцируем, получаем:

x∙5=2∙(x+3);

5x=2x+6;

5x-2x=6;

3x=6  |:3;

x=2.

Проверка. lg2+lg5=lg2+lg (2+3);

lg2+lg5=lg2+lg5.

Ответ: 2.

Уравнение 2

2) lg (x-2) -lg6=lg3-lg (x+5).

Решение.

Преобразуем уравнение так, чтобы слева и справа были суммы логарифмов.

lg (x-2)+lg (x+5)=lg3+lg6. Применим формулу логарифма произведения: log_ax+log_ay=log_a(x•y)

lg ((x-2)∙(x+5))=lg (3∙6). Потенцируем и получаем:

(x-2)∙(x+5)=3∙6;

x²-2x+5x-10=18;

x²+3x-28=0. Дискриминант D=b²-4ac=3²-4∙1∙(-28)=9+112=121=11² – полный квадрат. По теореме Виета x₁+x₂=-3; x₁∙x₂=-28. Отсюда подбором находим: x₁=-7; x₂=4.

Значение х₁ не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку при x₂=4. Подставляем это значение вместо х в исходное уравнение.

lg (4-2) -lg6=lg3-lg (4+5);

lg2-lg6=lg3-lg9                            или                lg2+lg9=lg3+lg6

log_ax— log_ay=log_a(x/y)         или            log_ax+log_ay=log_a(x•y).    

lg (2/6)=lg (3/9)                            или               lg (2•9)=lg (3•6);

lg (1/3)=lg (1/3)                            или                lg18=lg18.

Ответ: 4.