logabk=k∙logab Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.
Примеры:
1) log516=log524=4log52.
2) log59=log532=2log53.
Найти: 1) log524, 2) log5162, если известно, что log52=a, log53=b.
Решение. Применяем формулы логарифма произведения: loga(x∙y)=logax+logay
и логарифма степени: logabk=k∙logab.
1) log524=log5(8∙3)=log58+log53=log523+log53=3log52+log53=3a+b.
2) log5162=log5(2∙81)=log52+log581=log52+log534=log52+4log53=a+4b.
Ниже решим два уравнения:
Уравнение 1
1) log23+2log2(x-1)=log227.
Решение.
Представим левую часть в виде логарифма по основанию 2. Для этого преобразуем 2log2(x-1) в логарифм степени, а затем сумму логарифмов в логарифм произведения:
log23+log2(x-1)2=log227;
log2(3∙(x-1)2)=log227. Потенцируем:
3∙(x-1)2=27 |:3
(x-1)2=9
(x-1)2=32
x-1=3 или x-1=-3.
x=3+1, x=-3+1.
x=4 или x=-2.
Анализируем полученные результаты: значение х=-2 не удовлетворяет условию существования логарифма log2(x-1), т.к.
под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Сделаем проверку для х=4.
Проверка. Подставим вместо х число 4 в данное уравнение.
log23+2log2(4-1)=log227
log23+2log23=log233
3log23=3log23.
Ответ: 4.
Уравнение 2
2) 3log5(x+5) -log52=log54.
Решение.
3log5(x+5)=log54+log52;
log5(x+5)3=log5(4∙2);
log5(x+5)3=log58;
(x+5)3=8;
(x+5)3=23
x+5=2;
x=2-5;
x=-3.
Проверка.
3log5(-3+5) -log52=log54
3log52-log52=log522
2log52=2log52.
Ответ: -3.
