11.4.9.2. Логарифм степени

    logabk=klogab    Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.

    Примеры:

    1) log516=log524=4log52.

    2) log59=log532=2log53.

    Найти: 1) log524, 2)  log5162, если известно, что  log52=a, log53=b.

    Решение. Применяем формулы логарифма произведения: loga(xy)=logax+loga

    и логарифма степени: logabk=klogab.

    1) log524=log5(8∙3)=log58+log53=log523+log53=3log52+log53=3a+b.

    2)  log5162=log5(2∙81)=log52+log581=log52+log534=log52+4log53=a+4b.

    Решить уравнение:

    1) log23+2log2(x-1)=log227.

    Решение.

    Представим левую часть в виде логарифма по основанию 2. Для этого преобразуем 2log2(x-1) в логарифм степени, а затем сумму логарифмов в логарифм произведения:

    log23+log2(x-1)2=log227;

    log2(3∙(x-1)2)=log227. Потенцируем:

    3∙(x-1)2=27 |:3

    (x-1)2=9

    (x-1)2=32

    x-1=3              или              x-1=-3.

    x=3+1,                                  x=-3+1.

    x=4                  или              x=-2.

    Анализируем полученные результаты: значение х=-2 не удовлетворяет условию существования логарифма log2(x-1), т.к.

    под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Сделаем проверку для х=4.

    Проверка.  Подставим вместо х число 4 в данное уравнение.

    log23+2log2(4-1)=log227

    log23+2log23=log233

    3log23=3log23.

    Ответ: 4.

    2) 3log5(x+5) -log52=log54.

    Решение.

    3log5(x+5)=log54+log52;

    log5(x+5)3=log5(4∙2);

    log5(x+5)3=log58;

    (x+5)3=8;

    (x+5)3=23

    x+5=2;

    x=2-5;

    x=-3.

    Проверка.

    3log5(-3+5) -log52=log54

    3log52-log52=log522

    2log52=2log52.

    Ответ: -3.