11.4.9.3. Логарифм по основанию а, взятом в степени n


    loganb
    =(1/n)∙logab     

    Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

     

    Найти: 1) 21log83+40log252; 2) 30log323∙log1252, если известно, что log23=b, log52=c.

    Решение.

    Решить уравнения:

    1) log2x+log4x+log16x=5,25.

    Решение.

    Приведем данные логарифмы к основанию 2.  Применим формулу: loganb=(1/n)∙logab     

    log2x+(½) log2x+(¼) log2x=5,25;

    log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

    (1+0,5+0,25)·log2x=5,25;

    1,75·log2x=5,25  |:1,75

    log2x=3. По определению логарифма:

    x=23

    x=8.

    Ответ: 8.

    2) 0,5log4(x-2)+log16(x-3)=0,25.

    Решение.  Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

    0,5log4(x-2)+0,5log4(x-3)=0,25 |:0,5

    log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

    log4((x-2)(x-3))=0,5;

    log4(x2-2x-3x+6)=0,5;

    log4(x2-5x+6)=0,5. По определению логарифма:

    x2-5x+6=40,5

    x2-5x+6=2;

    x2-5x+4=0. По теореме Виета:

    x1=1; x2=4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

    Проверим данное уравнение при х=4.

    Проверка.

    0,5log4(4-2)+log16(4-3)=0,25

    0,5log42+log161=0,25

    0,5∙0,5+0=0,25

    0,25=0,25.

    Ответ: 4.

    Метки: