11.4.9.5. Логарифм от числа b в степени r по основанию a в степени r

    logarbr=logab   или  logab=logarbr

    Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

    Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

    Примеры.

    1) Сравнить log39 и log981.

    log39=2, так как 32=9;

    log981=2, так как 92=81.

    Значит, log39=log981.

    Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=32, а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=92. Получается, что и число и основание первого логарифма log39 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

    Далее, так как извлечение корня n-й степени из числа а есть возведение числа а в степень (1/n), то из log981 можно получить log39 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

    2) Проверить равенство: log425=log0,50,2.

    Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25; получаем: log425=log25.

    Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5=1/2. Число под знаком этого логарифма: 0,2=1/5. Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

    0,5-1=(1/2)-1=2;

    0,2-1=(1/5)-1=5.

    Таким образом, log0,50,2=log25. Вывод: данное равенство верно.

    Решить уравнение:                   

    log4x4+log1681=log2(5x+2).    Приведем логарифмы слева к основанию 2.

    log2x2+log23=log2(5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

    log2(3x2)=log2(5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

    3x2=5x+2. Получили после потенцирования.

    3x2-5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

    a=3, b=-5, c=-2.

    D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 действительных корня.

    Проверка.

    x=2.

    log424+log1681=log2(5∙2+2);

    log222+log23=log212;

    log2(4∙3)=log212;

    log212=log212;

    12=12.

     

     

    Метки: