11.4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма

p=log_aa^p  Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1

I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.

Решение.

1) 2=log₃3²=log₃9;

2) 2=log₅5²=log₅25;

3) 2=lg10²=lg100.

Пример 2

II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.

Решение.

1) -1=lg10^-1=lg0,1;

2) -2=lg10^-2=lg0,01;

3) -3=lg10^-3=lg0,001.

Решить уравнение:

1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.

Решение.

lg ((x-9)(2x-1))=lg10²; представили сумму логарифмов в виде логарифма произведения и число 2 в правой части равенства записали в виде десятичного логарифма (логарифма с основанием 10).

lg (2x²-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.

2x²-19x+9=100; получили после потенцирования.

2x²-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax²+bx+c=0.

a=2, b=-19, c=-91.  Решим квадратное уравнение по общей формуле.

D=b²-4ac=(-19)²-4∙2∙(-91)=361+728=1089=33² > 0; два действительных корня:

Проверка. Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.

Проверяем данное равенство при х=13.

lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;

lg4+lg25=2;

lg (4∙25)=2;

lg100=2;

2=2.

Ответ: 13.

2) log₃(x+1)+log₃(x+3)=1.

Решение.

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части представим в виде логарифма с основанием 3:

log ((x+1)(x+3))=log₃3;

log (x²+x+3x+3)=log₃3. Потенцируем:

x²+4x+3=3;

x²+4x=0;

x (x+4)=0;

x=0 или x+4=0, отсюда x=-4.

Анализируем результаты:

х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо.

Проверим значение х=0.

Проверка.

log₃(0+1)+log₃(0+3)=1;

log₃1+log₃3=1;

0+1=1;

1=1.

Ответ: 0.