11.4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма

    p=logaap  Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.

    Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

    Примеры.

    I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.

    Решение.

    1) 2=log33²=log39;

    2) 2=log55²=log525;

    3) 2=lg10²=lg100.

    II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.

    Решение.

    1) -1=lg10-1=lg0,1;

    2) -2=lg10-2=lg0,01;

    3) -3=lg10-3=lg0,001.

    Решить уравнение:

    1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.

    Решение.

    lg ((x-9)(2x-1))=lg102; представили сумму логарифмов в виде логарифма произведения и число 2 в правой части равенства записали в виде десятичного логарифма (логарифма с основанием 10).

    lg (2x2-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.

    2x2-19x+9=100; получили после потенцирования.

    2x2-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax2+bx+c=0.

    a=2, b=-19, c=-91.  Решим квадратное уравнение по общей формуле.

    D=b2-4ac=(-19)2-4∙2∙(-91)=361+728=1089=332>0; два действительных корня:

    Проверка. Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.

    Проверяем данное равенство при х=13.

    lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;

    lg4+lg25=2;

    lg (4∙25)=2;

    lg100=2;

    2=2.

    Ответ: 13.

    2) log3(x+1)+log3(x+3)=1.

    Решение.

    Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части представим в виде логарифма с основанием 3:

    log ((x+1)(x+3))=log33;

    log (x2+x+3x+3)=log33. Потенцируем:

    x2+4x+3=3;

    x2+4x=0;

    x (x+4)=0;

    x=0 или x+4=0, отсюда x=-4.

    Анализируем результаты:

    х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо.

    Проверим значение х=0.

    Проверка.

    log3(0+1)+log3(0+3)=1;

    log31+log33=1;

    0+1=1;

    1=1.

    Ответ: 0.