I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x1+x2=-p; x1∙x2=q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x2-x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x2+px+q=0), второй коэффициент p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D=b2— 4ac=(-1)2-4∙1∙(-30)=1+120=121=112.
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:
x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.
Пример 2) x2+6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=32-1∙8=9-8=1=12. Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x2+2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=12-1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x2+px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x2+3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:
x1+x2=-b/a; x1∙x2=c/a.
Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x2-7x-11=0.
Решение.
Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=72-4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.
x1+x2=-b:a=- (-7):2=3,5.
Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x2+8x-21=0.
Решение.
Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=42-3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.
