Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a1=f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4=f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a1; a2; a3; a4;…, следовательно, a1 — первый член последовательности;
a2 - второй член последовательности;
a3 - третий член последовательности;
a4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: an=f (n) или {an}.
Существуют следующие способы задания числовой последовательности:
1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.
Решение. Замечаем, что 1=12; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
Решение.
a1=3+2∙(1+1)=3+4=7;
a2=3+2∙(2+1)=3+6=9;
a3=3+2∙(3+1)=3+8=11;
a4=3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: ak=2k-1.
3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {an},
если a1=7; an+1 = 5+an.
Решение.
a2 =5+a1=5+7=12;
a3 =5+a2=5+12=17;
a4 =5+a3=5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {bn},
если b1 = -2, b2 = 3; bn+2 = 2bn +bn+1.
Решение.
b3 = 2∙b1 + b2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
b4 = 2∙b2 + b3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
b5 = 2∙b3 + b4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… .
Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.
Решение.
Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n.
Получаем: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Следовательно, a1= -3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7.
Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.
Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (an+1>an) и убывающей, если ее члены убывают (an+1<an).
Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.
