Что такое матрица, определение матрицы и виды матриц

С развитием науки и техники математикам понадобились большие массивы данных, которые обычно записывались в таблицу. Между элементами таблицы часто требовались определенные операции, например, надо было сложить сходные элементы двух разных таблиц, чтобы результат записать в третьей таблице. Затем работать уже с этой таблицей, оперируя и ее элементами. Сейчас же ученые оперируют тысячами таблиц. Понадобился математический аппарат для упрощенной работы с таблицами. Так появились матрицы. Математики назвали таблицы матрицами, классифицировали их, описали операции с матрицами, свойства и способы упрощенной работы с ними. Начнем с определения матрицы.

В школьном курсе математики матрицы используются для быстрого решения систем уравнений.

Содержание

Определение матрицы

Матрицей называют множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$

Для любого элемента $a_{ij}$ первый индекс $i$ означает номер строки, а второй индекс $j$ — номер столбца. Сокращенно матрицу типа $m \times n$ можно записать так: $A=(a_{ij})$ , где $i=1, 2, ..., m$ ; $j=1, 2, n$ .

Диагонали матрицы

Диагональ матрицы, с совпадающими индексами элементов, при условии равенства ее строк и столбцов, называют главной диагональю матрицы.

Например, в матрице

$C=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41}& a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$

главная диагональ содержит элементы $a_{11}$ , $a_{22}$ , $a_{33}$ , $a_{44}$ .

Диагональ, которая содержит элементы $a_{1n}$ , $a_{2, n-1}$ , ... $a_{n1}$ называется побочной диагональю матрицы. В матрице C эта диагональ представлена элементами $a_{14}$ , $a_{23}$ , $a_{32}$ , $a_{41}$ .

Виды матриц

Матрицы бывают квадратными и прямоугольными, диагональными, скалярными, нулевыми, единичными, матрицы-столбцы и матрицы-строки. Дадим определение каждой матрице и рассмотрим их на примерах.

Прямоугольная матрица

Если число строк матрицы не равно числу столбцов $m \neq n$ , то матрица называется прямоугольной. Примеры прямоугольной матрицы

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\\ a_{41}& a_{42} & a_{43} \end{pmatrix}$ и

$B=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \end{pmatrix}$

Квадратная матрица

Если число строк равно числу столбцов $(m=n)$ , тогда мы получаем квадратную матрицу. Примеры квадратных матриц:

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41}& a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$

Число столбцов или строк квадратной матрицы указывает на ее порядок. Так, матрица А в нашем примере третьего порядка, а матрица B четвертого.

Нулевая матрица

Если все элементы в матрице равны нулю, то такая матрица называется нулевой матрицей. Например,

$O=\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0\\ 0& 0 & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots\\ 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}$

Нулевая матрица обозначается буквой $O$ .

Диагональная матрица

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы главной диагонали, называется диагональной матрицей. Пример диагональной матрицы:

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& 0 & 0 &0 \\ 0& a_{22} &0 &0\\ 0& 0& a_{33} & 0\\ 0& 0 & 0& a_{44} \end{pmatrix}$

Диагональными матрицами являются, к примеру, такие:

$A=\begin{pmatrix} 2& 0} &0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0& -4 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 \\ 0& 4 & 0& 0\\ 0&0 & 11& 0\\ 0& 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$

Скалярная матрица

Если у диагональной матрицы все числа на главной диагонали равны между собой, то матрица называется скалярной.

Например,

$A=\begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 \\ 0& 7 & 0& 0\\ 0&0 & 7& 0\\ 0& 0 & 0 &7 \end{pmatrix}$

Единичная матрица

Если все числа в диагональной матрице, расположенные на главной диагонали, равны единице, то такая матрица называется единичной. Она записывается и обозначается так:

$E=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0& 0\\ 0&0 &1& 0\\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}$