Матрицы и определение матриц, виды матриц

Что такое матрица определение и виды матриц Линейная алгебра

С развитием науки и техники математикам понадобились большие массивы данных, которые обычно записывались в таблицу. Между элементами таблицы часто требовались определенные операции, например, надо было сложить сходные элементы двух разных таблиц, чтобы результат записать в третьей таблице. Затем работать уже с этой таблицей, оперируя и ее элементами. Сейчас же ученые оперируют тысячами таблиц. Понадобился математический аппарат для упрощенной работы с таблицами. Так появились матрицы. Математики назвали таблицы матрицами, классифицировали их, описали операции с матрицами, свойства и способы упрощенной работы с ними. Начнем с определения матрицы.

В школьном курсе математики матрицы используются для быстрого решения систем уравнений.

Определение матрицы

Матрицей называют множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & ...  & \ldots \\  a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}

Для любого элемента a_{ij} первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j  — номер столбца. Сокращенно матрицу типа m \times n можно записать так: A=(a_{ij}), где i=1, 2, ..., mj=1, 2,  n.

Диагонали матрицы

Диагональ матрицы, с совпадающими индексами элементов, при условии равенства ее строк и столбцов, называют главной диагональю матрицы.

Например, в матрице

C=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24}\\  a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34}\\  a_{41}& a_{42} & a_{43} & a_{44}  \end{pmatrix}

главная диагональ содержит элементы a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}.

Диагональ, которая содержит элементы a_{1n}, a_{2, n-1}, ... a_{n1} называется побочной диагональю матрицы. В матрице C эта диагональ представлена элементами a_{14}, a_{23}a_{32}, a_{41}.

Виды матриц

Матрицы бывают квадратными и прямоугольными, диагональными, скалярными, нулевыми, единичными, матрицы-столбцы и матрицы-строки. Дадим определение каждой матрице и рассмотрим их на примерах.

Прямоугольная матрица

Если число строк матрицы не равно числу столбцов m \neq n, то матрица называется прямоугольной. Примеры прямоугольной матрицы

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\  a_{31}& a_{32} & a_{33}\\  a_{41}& a_{42} & a_{43}  \end{pmatrix}   и

B=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\  a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35}  \end{pmatrix}

Квадратная матрица

Если число строк равно числу столбцов (m=n), тогда мы получаем квадратную матрицу. Примеры квадратных матриц:

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\  a_{31}& a_{32} & a_{33}  \end{pmatrix}

и

B=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24}\\  a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34}\\  a_{41}& a_{42} & a_{43} & a_{44}  \end{pmatrix}

Число столбцов или строк квадратной матрицы указывает на ее порядок. Так, матрица А в нашем примере третьего порядка, а матрица B четвертого.

Нулевая матрица

Если все элементы в матрице равны нулю, то такая матрица называется нулевой матрицей. Например,

O=\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0\\  0& 0 & 0 & 0\\  \ldots & \ldots & \ldots\\  0& 0 &0 & 0  \end{pmatrix}

Нулевая матрица обозначается буквой O.

Диагональная матрица

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы главной диагонали, называется диагональной матрицей. Пример диагональной матрицы:

A=\begin{pmatrix} a_{11}& 0 & 0 &0 \\ 0& a_{22} &0 &0\\  0& 0& a_{33} & 0\\  0& 0 & 0& a_{44}  \end{pmatrix}

Диагональными матрицами являются, к примеру, такие:

A=\begin{pmatrix} 2& 0} &0\\ 0& 1 & 0\\  0& 0& -4  \end{pmatrix}

и

B=\begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 \\ 0& 4 & 0& 0\\  0&0 & 11& 0\\  0& 0 & 0 & -5  \end{pmatrix}

Скалярная матрица

Если у диагональной матрицы все числа на главной диагонали равны между собой, то матрица называется скалярной.

Например,

A=\begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 \\ 0& 7 & 0& 0\\  0&0 & 7& 0\\  0& 0 & 0 &7  \end{pmatrix}

Единичная матрица

Если все числа в диагональной матрице, расположенные на главной диагонали, равны единице, то такая матрица называется единичной. Она записывается и обозначается так:

E=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0& 0\\  0&0 &1& 0\\  0& 0 & 0 &1  \end{pmatrix}

Матрица-строка

В прямоугольной матрице типа m \times n бывают такие случаи, когда m=1, тогда мы будем говорить о матрице-строке.

Пример:

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}

Матрица-столбец

Прямоугольная матрица, у которой есть только один столбец, называется матрица-столбец. То есть матрица при n=1. Например:

A=\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\  \ldots \\  a_{m1} \end{pmatrix}

Матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе называются векторами.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Мирослава

Круто про матрицы. Спасибо Вам.

Мирослава

Мне понравилось про матрицы. Спасибо.