Основные свойства определителей матрицы

Мы рассмотрели что такое определитель, как его вычислять и каков его геометрический смысл в статье «Определитель матрицы». А теперь подробно рассмотрим все свойства определителей матрицы.

Свойство равноправности строк и столбцов

Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (то есть транспонировать):

\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22} \end{vmatrix}

Например,

\begin{vmatrix} 3& 4\\ 1& -2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3& 1\\ 4& -2 \end{vmatrix}=3 \cdot (-2) -4 \cdot 1=-6-4=-10

Это свойство называют свойством равноправности строк и столбцов.

Свойство перестановок строк и столбцов

При перестановке двух строк (или двух столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:

\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}= — \begin{vmatrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{11}& a_{12} \end{vmatrix}

Например,

\begin{vmatrix} 3& 5\\ 1& 9 \end{vmatrix}= 3 \cdot 9-5 \cdot 1=27-5=22

Теперь поменяем местами строчки:

\begin{vmatrix} 1& 9\\ 3& 5 \end{vmatrix}= 1 \cdot 5-9 \cdot 3=5-27=-22

Свойство вынесения общего множителя в определителе

Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя:

\begin{vmatrix} a_{11}& ka_{12}\\ a_{21}& ka_{22} \end{vmatrix}= k \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}

Рассмотрим определитель:

\begin{vmatrix} 4& 3\\ 2& 7 \end{vmatrix}= 4 \cdot 7-3 \cdot 2=28-6=22

В первом столбце можно вынести множитель 2:

2\begin{vmatrix} 2& 3\\ 1& 7 \end{vmatrix}= 2 (2 \cdot 7-3 \cdot 1)=2 \cdot 11=22

Свойство определителя с равными строками или столбцами

Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Например,

\begin{vmatrix} 4& 3 & 2\\ 2& 7 & 1\\ 4& 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 \cdot 7 \cdot 2+3\cdot 1 \cdot 4 + \\ + 2 \cdot 3 \cdot 2-2 \cdot 7 \cdot 4 — 2 \cdot 3 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 4=\\ =56+12+12-56-12-12=0

Из данного свойства и свойства вынесения общего множителя вытекает следующее свойство.

Свойство определителя с пропорциональными элементами двух строк или двух столбцов

Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Проверим это свойство на примере:

\begin{vmatrix} 4& 3 & 2\\ 2& 7 & 1\\ 8& 6 & 4 \end{vmatrix}= 4 \cdot 7 \cdot 4+3\cdot 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 \cdot 2-\\ -2 \cdot 7 \cdot 8 — 2 \cdot 3 \cdot 4-1 \cdot 6 \cdot 4=\\=112+24+24-112-24-24=0

Свойство прибавления к строке или к столбцу

Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится:

\begin{vmatrix} a_{11}+ka_{12}& a_{12}\\ a_{21}+ka_{22}& a_{22} \end{vmatrix}= — \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}

Свойства определителя матрицы 3×3, у которого все элементы выше или ниже главной диагонали

Определитель 3×3, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, — нули, равен произведению элементов главной диагонали:

\begin{vmatrix} a_{11}& 0 & 0\\ a_{21}& a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33}.