Сложение матриц и свойства сложения матриц

Рассмотрим в данной статье такие линейные операции над матрицами — сложение матриц. Дадим определение суммы матриц и приведем примеры на сложение матриц с подробным объяснением. Приведем свойства сложения матриц

Содержание

Сложение матриц

Сумма матриц A и B — это матрица C, в которой все элементы есть суммы соответствующих элементов матриц A и B. При этом сами матрицы должны иметь одинаковое строение — или быть прямоугольными типа $m \times n$ , либо квадратными.

Итак, пусть нам даны матрицы

$A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12} & b_{13} & ... & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22} & b_{23} & ... & b_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ b_{m1}& b_{m2} & b_{m3} & ... & b_{mn} \end{pmatrix}$

Тогда сумма матриц $C=A+B$ :

$C= \begin{pmatrix} c_{11}& c_{12} & c_{13} & ... & c_{1n}\\ c_{21}& a_{22} & c_{23} & ... & c_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & ... & \ldots \\ c_{m1}& c_{m2} & c_{m3} & ... & c_{mn} \end{pmatrix}$

где $c_{11}=a_{11}+b_{11}$ , $c_{12}=a_{12}+b_{12}$ , $c_{12}=a_{12}+b_{12}$ , ... , $c_{1j}=a_{1j}+b_{1j}$ , $c_{1n}=a_{1n}+b_{1n}$ , ..., $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ , ..., $c_{mn}=a_{mn}+b_{mn}$ .

Примеры сложения матриц

Пример 1

Сложите матрицы A и B, если:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 7& -3 \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} -3 & 4\\ 8& 5 \end{pmatrix}$

Решение:

Матрицы A и B имеют одинаковое строение, значит мы можем их сложить, получим матрицу С:

$C= \begin{pmatrix} 2+(-3) & 5+4\\ 7+8& -3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 9\\ 15& 2 \end{pmatrix}$

Пример 2

Сложить матрицы A и B, если:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} -3 & 4 & 7\\ 8& 5 & 0 \\ -1 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

Решение:

Матрицы A и B сложить нельзя, так как матрица A — это матрица $2 \times 3$ , а матрица B — это матрица $3 \times 2$ , а мы можем складывать только прямоугольные матрицы одного порядка.

Пример 3

Сложить матрицы A и B, если:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 8& 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

Решение: матрицы имеют одинаковое прямоугольное строение, значит, их можно сложить:

$C= \begin{pmatrix} -1 & 7\\ 12& 0 \\ 10 & -6 \end{pmatrix}$

Свойства сложения матриц

Так как при сложении матриц мы в основном складываем числа, то и свойства сложения чисел распространяются и на сложение матриц:

Переместительный закон сложения: $A+B=B+A$ , где $A$ и $B$ либо квадратные матрицы одного порядка $n$ , либо прямоугольные матрицы одного типа $m \times n$ .
Сочетательный закон сложения $(A+B)+C=A+(B+C)$ , где $A$ , $B$ и $C$ — либо квадратные матрицы одного порядка $n$ , либо это матрицы прямоугольные размерностью $m \times n$ .
Сумма матрицы и нулевой матрицы равна исходной матрице: $A+O=A$ .
Сумма матрицы и противоположной матрицы равна нулевой матрице: $A+(-A)=O$ .

Противоположная матрица

Противоположная матрица - определение:

Противоположной матрицей называется матрица, в которой все элементы заменены на противоположные относительно нуля.

Не путайте противоположную матрицу с обратной матрицей. Это разные матрицы.

Например, давайте найдем матрицу $(-A)$ , противоположную матрице $A$ :

$A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$ ,

Очевидно, что это будет матрица:

$-A= \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -4& 5 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

Соответственно при сложении матриц $A+(-A)$ мы получим нулевую матрицу:

$A+(-A)= \begin{pmatrix} 2-2 & 3-3\\ 4-4& -5+5 \\ 5-5 & -3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O$

Вычитание матриц

Так как любое вычитание можно заменить сложением, то вычитание матриц можно заменить сложением матриц, например, вычитание из матрицы A матрицы B: $A-B$ это есть сложение матрицы A и матрицы, противоположной матрице B: $A-B=A+(-B)$ .

Рассмотрим на примере: пусть нам нужно вычислить разность матриц

$A= \begin{pmatrix} 10 & 5\\ 2& -7 \\ 4 & -12 \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 9& 6 \\ -9 & -15 \end{pmatrix}$

Находим разность этих матриц, как сложение матрицы A и матрицы, противоположной матрице B:

$C=A-B=A+(-B) \begin{pmatrix} 10+2 & 5+(-8) \\ 2+(-9)& -7+(-6) \\ 4+9 & -12+15 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 12 & -3 \\ -7& -13 \\ 13 & 3 \end{pmatrix}$

На примере видно, что разность двух матриц — это матрица, элементы которой получены путем вычитания из соответствующих элементов первой матрицы соответствующих элементов второй матрицы.

Посмотрите еще статьи про матрицы: