10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1

    На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint<a. Вот они:

    Составим алгоритм решения.

    1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

    2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

    3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

    4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

    5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

    Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

    Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

    Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

    Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

    . Проводим прямую.

    Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

    Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

    Решим второе неравенство.

    Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

    Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

    Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

    Аналогично решаем и третье неравенство.

    В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

    Ответ запишем в виде числового промежутка.

     

    Смотрите видео: 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств вида: sinx<a  графическим способом.

    И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

    Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

    ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint<a (-1≤а≤1) справедлива формула:

    — π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.

    Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

    Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!