10.3.1. Уравнение касательной

    Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х0.  Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

    Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х0.

    Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f '(х0) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

    Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f '(х0)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х0, а вместо у подставим f (х0). Получаем равенство:

    f (х0) =f '(х0)·х0+b.

    Отсюда b=f (х0)f '(х0)·х0. Подставляем это значение b в равенство:  y=f '(х0)·x+b. Тогда:

    y =f '(х0)·х+f (х0) - f '(х0)·х0. Упростим.

    y=f (х0)+(f '(х0)·х f '(х0)·х0)  или 

     y=f (х0)+f '(х0)(х х0).  Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

    Смотрите видео 10.3.1. Уравнение касательной.

    Выполнить следующие задания.

    1. Написать уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке x0=3. Сделать чертеж.

    Решение.

    Запишем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой x0 в общем виде:

    y=f (x0) +f '(x0)(x-x0).

    Находим значение данной функции в точке с данной абсциссой:

    f (x0)=f (3)=32=9.

    Находим производную f '(x)=(x2)'=2x и находим значение этой производной при х=3.

    Тогда f '(x0)=f '(3)=2·3=6.

    Подставим найденные значения

    f (x0)=9 и f '(x0)=6 в уравнение касательной, получим:

    y=9+6·(x-3);

    y=9+6x-18;

    y=6x-9 — искомое уравнение касательной.

    Ответ: y=6x-9.

    2. Написать уравнение касательной к графику функции

    Решение.

    Записываем общее уравнение касательной: y=f (x0) +f '(x0)(x-x0). Находим значение данной функции в точке х=1, получаем:

    f (x0)=f (1) = 1. Найдем производную данной функции по формуле производной степени:

    f '(x)=(x-2)=-2x-2-1=-2x-3.

    Находим значение этой производной при х=1.

    f '(x0)=f (1)=-2·(1)-3 =-2. Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной:

    y=1-2(x-1);

    y=1-2x+2;

    y=-2x+3 - искомое уравнение касательной.

    Ответ: y=-2x+3.