10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3

На предыдущих двух занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели решения неравенств вида:

Продолжаем решать тригонометрические неравенства графическим способом. Рассмотрим неравенства вида cost<a:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функции y=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функции y=sinx. (10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1), т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3. а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Второе неравенство.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Смотрите видео: «10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.»

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost<a.

Если  cost<a, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения рассмотренных в этой статье неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

Оцените статью
( Пока оценок нет )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии