Формулы приведения

Формулы приведения 10 класс. Алгебра.

Формулы приведения относятся к тригонометрической функции, которая использует периодичность для преобразования тригонометрической функции с относительно большим углом в тригонометрическую функцию с относительно небольшим углом.

Содержание

Формулы взаимосвязи между углами противоположными на 360 градусов или круг

Эти формулы устанавливают связь между углами противоположными на 360 градусов или круг. Значение одной и той же тригонометрической функции для того же угла на противоположной стороне равно.

Пусть α — любой острый угол, выражение угла в радианной системе:

cos(2k \pi+\alpha)=cos \alpha     (k \in Z)

sin(2k \pi+\alpha)=sin \alpha      (k \in Z)

tg(2k \pi+\alpha)=tg \alpha        (k \in Z)

ctg(2k \pi+\alpha)=ctg \alpha    (k \in Z)

В градусной мере тригонометрическая функция угла будет выражаться формулами:

sin(\alpha+k \cdot 360^0)=sin \alpha    (k \in Z).
cos(\alpha+k \cdot 360^0)=cos \alpha  (k \in Z).
tg(\alpha+k \cdot 360^0)=tg \alpha      (k \in Z).
ctg(\alpha+k \cdot 360^0)=ctg \alpha    (k \in Z).
sec(\alpha+k \cdot 360^0)=sec \alpha    (k \in Z).
cosec(\alpha+k \cdot 360^0)=cosec \alpha  (k \in Z).

Формулы тригонометрической функции π + α, связанные с значением тригонометрической функции α

Эта группа устанавливает связь между значением тригонометрической функции π + α и значением тригонометрической функции α.

Пусть α — любой угол, выражение угла в радианной системе:

sin (π+α)=-sinα.
cos (π+α)=-cosα.
tg (π+α)=tgα.
ctg (π+α)=ctgα.
sec (π+α)=-secα.
cosec (π+α)=-cosecα.

В градусной мере:

sin (180°+α)=-sinα.
cos (180°+α)=-cosα.
tg (180°+α)=tgα.
ctg (180°+α)=ctgα.
sec (180°+α)=-secα.
cosec (180°+α)=-cosecα.

Связь между значением тригонометрической функции любого угла α и -α

Приведем формулы приведения, в которых устанавливается связь между значением тригонометрической функции любого угла α и угла  -α:

sin (-α) = — sinα.
cos (-α) = cosα.
tg (-α) = — tgα.
ctg (-α)=ctgα.
sec (-α) = secα.
cosec (-α) = — cosecα.

Связь между значениями тригонометрических функций π-α и α

Эти формулы могут быть получены по формулам связи между значениями тригонометрических функций углов α и -α и  между значением тригонометрической функции π + α и значением тригонометрической функции α :

Представление угла в радианной мере:
sin (π - α) = sinα.
cos (π - α) = — cosα.
tg (π - α) = — tgα.
ctg (π - α) = — ctgα.
sec (π - α) = — secα.
cosec (π - α) = cosecα.

Представление угла в градусной мере:
sin (180 ° -α) = sinα.
cos (180 ° -α) = — cosα.
tg (180 ° -α) = — tgα.
ctg (180 ° -α) = — ctgα.
sec(180 ° -α) = — secα.
cosec (180 ° -α) = cosecα.

Связь между значением тригонометрической функции 2π-α и α

Эти формулы могут быть получены по формулам связи тригонометрических функций аргументов противоположных на круг и угла α и угла  -α :

Представление угла в радианной мере:
sin (2π - α) = — sinα.
cos (2π - α) = cosα.
tg (2π - α) = — tgα.
ctg (2π - α) = — ctgα.
sec (2π - α) = secα.
cosec (2π - α) = — cosecα.

Представление в градусной мере:
sin (360 ° -α) = — sinα.
cos (360 ° -α) = cosα.
tg (360 ° -α) = -tgα.
ctg (360 ° -α) = — ctgα.
sec(360 ° -α) = secα.
cosec (360 ° -α) = — cosecα.

Связь между значениями тригонометрических функций π/2 ± α и 3π/2 ± α и α

Связь между π / 2 + α и значением тригонометрической функции α

Представление угла в радианной мере:

sin (π / 2 + α) = cosα.
cos (π / 2 + α) = — sinα.
tg (π / 2 + α) = — ctgα.
ctg (π / 2 + α) = — tgα.
sec (π / 2 + α) = — cosecα.
cosec (π / 2 + α) = secα.

Представление угла в градусах:

sin (90 ° + α) = cosα.
cos (90 ° + α) = — sinα.
tg (90 ° + α) = -ctgα.
ctg (90 ° + α) = -tgα.
sec (90 ° + α) = -cosecα.
cosec (90 ° + α) = secα.

Связь между π / 2-α и значением тригонометрической функции α

Представление угла в радианной системе:

sin (π / 2 - α) = cosα.
cos (π / 2 - α) = sinα.
tg (π / 2 - α) = ctgα.
ctg (π / 2 - α) =tgα.
sec (π / 2 - α) = cosecα.
cosec (π / 2 - α) = secα.

Представление угла в градусах:

sin (90 ° -α) = cosα.
cos (90 ° -α) = sinα.
tg (90 ° -α) = ctgα.
ctg (90 ° -α) = tgα.
sec (90 ° -α) = cosecα.
cosec (90 ° -α) = secα.

Связь между 3π / 2 + α и значением тригонометрической функции α

Представление угла в радианах:

sin (3π / 2 + α) = — cosα.
cos (3π / 2 + α) = sinα.
tg (3π / 2 + α) = — ctgα.
ctg (3π / 2 + α) = -tgα.
sec (3π / 2 + α) = cosecα.
cosec (3π / 2 + α) = — secα.

Представление угла в градусах:

sin (270 ° + α) = — cosα.
cos (270 ° + α) = sinα.
tg (270 ° + α) = -ctgα.
ctg(270 ° + α) = -tgα.
sec (270 ° + α) = cosecα.
cosec (270 ° + α) = — secα.

Связь между 3π / 2 - α и значением тригонометрической функции α

Представление угла в радианах:

sin (3π / 2- α) = — cosα.
cos (3π / 2 -α) = — sinα.
tg (3π / 2 - α) =ctgα.
ctg (3π / 2 — α) =tgα.
sec (3π / 2 - α) = -cosecα.
cosec (3π / 2 - α) = — secα.

Представление угла в градусах:

sin (270 ° -α) = — cosα.
cos (270 ° -α) = — sinα.
tg(270 ° -α) = tgα.
ctg(270 ° -α) =tgα.
sec (270 ° -α) = -cosecα.
cosec (270 ° -α) = — secα.

Правило определения приведенной функции

Приведенные выше формулы приведения можно резюмировать так: для значения тригонометрической функции kπ / 2 ± α (k∈Z),

  • Когда k — четное число, значение приведенной функции будет с тем же именем, что и приводимая функция, но для α (острый угол), то есть имя функции не изменяется
  • Когда k — нечетное число, мы возьмем ко-функцию, но уже для α (острый угол), а именно sin (kπ / 2 ± α) → cosα; cos (kπ / 2 ± α) → sinα; tg (kπ / 2 ± α) → ctgα, ctg (kπ / 2 ± α) → tgα.

Запомни
Перед приведенной функцией мы должны добавить знак приводимой функции.

То есть мы получим:

\ sin(2\pi k+\alpha)=\sin \alpha                   (1)

\cos(2 \pi k + \alpha)=\cos \alpha                  (2)

Правило лошади в тригонометрии

Математики придумывают все новые и новые способы заставить ученика выучить это несложное правило, что придумали даже «кивающую лошадь». А правило, которое с ее помощью легче запомнить — это как раз вторая часть правила, когда k — нечетное число. В этом случае угол отсчитывается по вертикали. И тогда воображаемая лошадь кивает головой и функция меняется на ко-функцию. На наш взгляд абсолютно лишняя информация. Но если вам удобно — пользуйтесь.

Правило лошади в тригонометрии
Правило лошади в тригонометрии

Например:
sin (2π-α) = sin (4 · π/2-α), k = 4 — четное число, поэтому берется та же функция sinα.
Когда α — острый угол, 2π-α∈ (270°, 360°), sin (2π-α) <0 и поэтому перед функций мы поставим знак «-».
Итак, sin (2π-α) = — sinα.

sin (α+ π) = — sinα

Углы, фигурирующие во всех формулах приведения тригонометрических функций, сначала рассматриваются как острые углы, α + π — это угол в третьей четверти, а синус в третьей четверти отрицательный, поэтому конечный результат отрицательный, а π является четным кратным π/2, поэтому функция остается неизменной.

Чтобы определить знак приводимой функции, нарисуйте тригонометрический круг и вспомните знаки тригонометрических функций в координатных четвертях.

Знаки тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций

Формулы приведения в тригонометрии таблица

Все формулы приведения тригонометрических функций можно собрать в одну таблицу.

Угол Функция
sinх cosх tgх ctgх
α sinα cosα tgα ctgα
-sinα cosα -tgα -ctgα
π / 2 — α cosα sinα ctgα tgα
π / 2 + α cosα -sinα -ctgα -tgα
π-α sinα -cosα -tgα -ctgα
π + α -sinα -cosα tgα ctgα
3π / 2 -α -cosα -sinα ctgα tgα
3π / 2+α -cosα sinα -ctgα -tgα
2π-α -sinα cosα -tgα -ctgα
2π+α sinα cosα tgα ctgα

Формулы и правило приведения тригонометрических функций часто используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Примеры применения формул приведения

Пример 1

Вычислите \sin 930^{\circ}.

Решение: Выделим целое количество тригонометрических кругов, каждый из которых 360^{\circ}. Получим: \sin 930^{\circ}= \sin {(2 \cdot 360^{\circ}+210^{\circ})} По формуле приведения из таблицы находим: \sin{(2 \cdot 360^{\circ}+210^{\circ})}=-\sin 210^{\circ}

\sin 210^{\circ}=\sin{(180^{\circ}+30^{\circ})}=-\sin30^{\circ}, подставляем \sin{(2 \cdot 360^{\circ}+210^{\circ})}=-\sin 210^{\circ}=-(-\sin30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}=0,5.

Пример 2

Вычислите \cos 150^{\circ}.

Решение: Представим, \cos 150^{\circ}=\cos{(90^{\circ}+60^{\circ})}.

Для решения воспользуемся правилом, так как у нас получается нечетное число k и функция поменяется на ко-функцию, то есть был косинус, станет синус. Определимся со знаком, посмотрим, в какую четверть попадает \cos{(90^{\circ}+60^{\circ})} — это вторая четверть, косинус во второй четверти отрицательный, значит перед синусом поставим знак минус (ставим знак приводимой функции, а приводим мы косинус):

\cos{(90^{\circ}+60^{\circ})}=-\sin 60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Пример 3

Вычислите \sin 135^{\circ}.

Решение: Проведем преобразования и применим правило приведения тригонометрических функций \sin (90^{\circ}+45^{\circ})=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Пример 4

Используя формулы приведения, вычислить:

tg{\frac{5\pi}{4}}.

Решение:

Представим \frac{5\pi}{4}=\frac{4\pi+\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}

Тогда, tg{\frac{5\pi}{4}}=tg{\pi+\frac{\pi}{4}}=tg{\frac{\pi}{4}}=1

Ответ: tg{\frac{5\pi}{4}}=1.

Пример 5

Упростите выражение:

  {\Hugo \frac{ctg(\frac{\pi}{2}-\alpha)-tg (\pi+\alpha)+\sin (\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}}.

Решение:

Приведем тригонометрические функции согласно правилу приведения, получим:

  {\Hugo \frac{ctg(\frac{\pi}{2}-\alpha)-tg (\pi+\alpha)+\sin (\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}} = {\Hugo \frac{tg \alpha-tg \alpha-\cos \alpha}{- \cos \alpha}}=\frac{-\cos \alpha}{-\cos \alpha}=1.

Ответ:1

Таким образом, чтобы правильно выполнить приведение тригонометрической функции большого угла к тригонометрической функции меньшего угла вы можете использовать формулы приведения, которые нужно будет выучить наизусть, а их свыше 50, можно облегчить себе запоминание — выучив таблицу. Или же воспользоваться простым правилом (рекомендуется). Удачи на экзаменах.

Читайте также:

Оцените статью
( 15 оценок, среднее 4.53 из 5 )
математика-повторение
Добавить комментарий