В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.
Δy=f (х0+Δх) — f (x0). Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.
Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:
Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.
Примеры
1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое -4,01.
Решение.
Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0). Так как у нас функция y=x2, то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x0 · Δx+(Δx)2— (х0)2=2x0 · Δx+(Δx)2=
=2 · 4 · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.
Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.
Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.
2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.
Решение.
Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.
Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.
3. Вывести формулу производной функции y=xn.
Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».
Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.
При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.
Вот эти формулы
Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Икс штрих равен единице.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.
5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.
6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.
7. Производная синуса равна косинусу.
8. Производная косинуса равна минус синусу.
9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.
10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.
Учим правила дифференцирования
1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.
2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».
4. Частный случай формулы 3.
Учим вместе!
Superoir thinking demonstrated above. Thanks!