Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {an}, т. е. в арифметической прогрессии с членами: a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, … по определению:
a2=a1+d;
a3=a2+d;
a4=a3+d;
a5=a4+d;
..............…
an=an-1+d; …
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предшествующим ему членом равна некоторому числу d, которое является постоянным для данной последовательности чисел, и называется разностью арифметической прогрессии. Итак, справедливы равенства:
a2-a1=d;
a3-a2=d;
a4-a3=d;
……….
an+1-an=d.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член a1 и разность d.
Пример 1. Написать первые пять членов арифметической прогрессии, зная первый член a1 и разность d.
а) a1=2, d=3.
Решение. По условию разность арифметической прогрессии d=3. Это означает, что для получения каждого следующего члена нужно прибавлять число 3 к предыдущему члену.
a2=a1+d=2+3=5;
a3=a2+d=5+3=8;
a4=a3+d=8+3=11;
a5=a4+d=11+3=14. Ответ: 2; 5; 8; 11; 14; ...
б) a1=-7, d=2.
Решение.
a2=a1+d=-7+2=-5;
a3=a2+d=-5+2=-3;
a4=a3+d=-3+2=-1;
a5=a4+d=-1+2=1. Ответ: -7; -5; -3; -1; 1; ...
в) a1=-10, d=-2.
Решение.
a2=a1+d=-10-2=-12;
a3=a2+d=-12-2=-14;
a4=a3+d=-14-2=-16;
a5=a4+d=-16-2=-18. Ответ: -10; -12; -14; -16; -18; ...
Пример 2. Известны два члена арифметической прогрессии {an}. Требуется найти первый член a1 и разность d.
а) a2=7, a3=-3.
Решение. По определению арифметической прогрессии можно найти ее разность:
d=a3-a2=-3-7=-10. Тогда a1=a2-d=7- (-10)=7+10=17. Ответ: a1=17, d=-10.
б) a3=-12, a4=-16.
Решение. d=a4-a3=-16- (-12)=-16+12=-4; отсюда a2=a3-d=-12- (-4)=-12+4=-8;
a1=a2-d=-8- (-4)=-8+4=-4. Ответ: a1=-4, d=-4.
в) a2=-4, a4=6.
Решение. Так как a4=a3+d; а в свою очередь a3=a2+d, то можно записать:
a4=a2+d+d; a4=a2+2d ⇒ 2d=a4- a2=6- (-4)=6+4=10 ⇒ d=10:2=5.
Тогда a1=a2-d=-4-5=-9. Ответ: a1=-9, d=5.
