Найдите корень уравнения 4^(5х+2) = 0,8·5^(5х+2)

Найдите решение уравнения 4 5x+2=08 5 5x+2 ЕГЭ по математике профильный уровень

Решение уравнений очень часто вызывает затруднение у школьников. Поэтому подробно решим одно из них — показательное уравнение (уравнение, где корень находится в показателе степени).   Решим показательное уравнение в качестве примера решения первого задания из ЕГЭ по математике профильного уровня, которое звучит так: найдите корень уравнения 4^{5x+2}=0,8 \cdot 5^{5x+2}.

Решение:

Цель преобразований исходного уравнения
Чтобы решить показательное уравнение — нужно добиться, чтобы и справа, и слева у нас была одинаковая степень. Если же этого добиться невозможно, можно попытаться прологорифмировать правую и левую части уравнения, чтобы добиться одинаковых логарифмов, на которые потом можно будет сократить левую и правую части.

Но, похоже, что в данном уравнении логарифмировать нам не придется.

Преобразуем уравнение в следующем виде: \displaystyle 4^{5x} \cdot 4^2=0,8 \cdot 5^{5x} \cdot 5^2.

Мы применили свойство степени, при котором при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются. Значит, и степени, у которых показатели представлены в виде суммы, можно записать в виде такого произведения степеней с одинаковым основанием.

Тогда, получим:

\displaystyle 4^{5x}\cdot 16=25 \cdot 0,8 \cdot 5^{5x} или

\displaystyle 16 \cdot 4^{5x}= 20 \cdot 5^{5x}.

Разделим левую и правую части уравнения на \displaystyle 5^{5x}, получим:

\displaystyle 16 \cdot (\frac{4}{5})^{5x}=20.

Здесь мы применили свойство степени, при котором деление степеней с разными основаниями, но с одинаковыми показателями степени можно заменить дробью, возведенную в этот показатель.

Разделим теперь левую и правую части уравнения на 16:

\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{20}{16}

или

\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{5}{4}.

Так как \displaystyle \frac{5}{4}=(\frac{4}{5})^{-1}, то

\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=(\frac{4}{5})^{-1},

и мы добились одинакового основания справа и слева от знака равенства. Если основания равны, то должны быть равны и показатели степени, получаем простое уравнение:

\displaystyle 5x=-1,

\displaystyle x=\frac{-1}{5}

\displaystyle x=-0,2.

Ответ: -0,2

Итак, для решения данного уравнения нам понадобилось знать свойства степени и держать в голове цель — привести справа и слева от знака равенства одинаковое основание степени.

Свойства степеней вы можете посмотреть в этой статье: Свойства степени с натуральным показателем.

Оцените статью
( 5 оценок, среднее 4.2 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии