Моторная лодка прошла против течения реки 96 км

Моторная лодка прошла против течения реки 96 км ЕГЭ по математике профильный уровень

Моторная лодка прошла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Задача взята из типовых экзаменационных вариантов по математике профильного уровня за 2023 год, выпущенных под редакцией И.В. Ященко. Решения в этих материалах данной задачи нет, поэтому мы решим эту задачу с подробным объяснением.

Решение

Вспомним как мы записываем скорость лодки при движении по течению и при движении против течения.

Если ввести следующие обозначения u — скорость течения реки, v_0 — собственная скорость лодки (скорость лодки в неподвижной воде или когда течение ничтожно мало и им можно пренебречь), то скорость лодки при движении по течению v=v_0+u, а скорость лодки против течения будет v=v_0-u.

Нам в задаче дана собственная скорость лодки v_0=10км/ч.

Пусть скорость течения будет x, тогда скорость моторной лодки при движении против течения реки будет 10-x, а скорость моторной лодки при движении по течению реки будет 10+x.

Нарисуем таблицу.

Направление движения лодки Скорость v, км/ч Время t, ч Расстояние, S, км
Против течения реки 10-x \displaystyle \frac{96}{10-x} 96
По течению реки 10+x \displaystyle \frac{96}{10+x} 96

Таблица заполняется с учетом формулы \displaystyle S=v \cdot t, в задаче даны скорость и расстояние, а время мы можем сами получить, используя формулу t=\displaystyle \frac{S}{v}.

Нам также известно, что на обратный путь моторная лодка затратила на 4 часа меньше. То есть время движения по течению реки было на 4 часа меньше, чем время движения против течения реки. Получим уравнение:

\displaystyle \frac{96}{10-x}-\frac{96}{10+x}=4, сократив левую и правую часть уравнения на 4, получим

\displaystyle \frac{24}{10-x}-\frac{24}{10+x}=1

24(10+x)-24(10-x)=(10-x)(10+x)

240+24x-240+24x=100-x^2, так как (10-x)(10+x)— можно упростить используя формулу разности квадратов: (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

48x=100-x^2

x^2+48x-100=0

Решим полученное квадратное уравнение, используя теорему Виета:

\begin{cases} x_1+x_2=-48 \\ x_1 \cdot x_2=-100 \end{cases}

Подбирая, получим x_1=-50x_2=2.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательным числом, возьмем значение x=2.

Выполним проверку:

\displaystyle \frac{96}{10-2}-\frac{96}{10+2}=4

\displaystyle \frac{96}{8}-\frac{96}{12}=4

12-8=4

4=4

Ответ: 2 км/ч — скорость течения реки. В ответ мы запишем только число 2.

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии