Моторная лодка прошла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Задача взята из типовых экзаменационных вариантов по математике профильного уровня за 2023 год, выпущенных под редакцией И.В. Ященко. Решения в этих материалах данной задачи нет, поэтому мы решим эту задачу с подробным объяснением.
Решение
Вспомним как мы записываем скорость лодки при движении по течению и при движении против течения.
Если ввести следующие обозначения — скорость течения реки,
— собственная скорость лодки (скорость лодки в неподвижной воде или когда течение ничтожно мало и им можно пренебречь), то скорость лодки при движении по течению
, а скорость лодки против течения будет
.
Нам в задаче дана собственная скорость лодки км/ч.
Пусть скорость течения будет x, тогда скорость моторной лодки при движении против течения реки будет , а скорость моторной лодки при движении по течению реки будет
.
Нарисуем таблицу.
Направление движения лодки | Скорость ![]() | Время ![]() | Расстояние, ![]() |
Против течения реки | ![]() | ![]() | 96 |
По течению реки | ![]() | ![]() | 96 |
Таблица заполняется с учетом формулы , в задаче даны скорость и расстояние, а время мы можем сами получить, используя формулу
.
Нам также известно, что на обратный путь моторная лодка затратила на 4 часа меньше. То есть время движения по течению реки было на 4 часа меньше, чем время движения против течения реки. Получим уравнение:
, сократив левую и правую часть уравнения на 4, получим
, так как
— можно упростить используя формулу разности квадратов:
.
Решим полученное квадратное уравнение, используя теорему Виета:
Подбирая, получим ,
.
Так как скорость течения реки не может быть отрицательным числом, возьмем значение .
Выполним проверку:
Ответ: 2 км/ч — скорость течения реки. В ответ мы запишем только число 2.